大数の法則からの問題がどうしても
確率の授業です(初学者です)。外人の先生なので英語が聞き取れず(しかも文字がとても汚い)よくわかりませんでした。
σ^2が分散, w_1,w_2,…,w_{n-1}がN(0,σ^2)の確率変数の時,
lim_{n→∞}P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)=1
となるそうなのですが(cは定数)これは大数の法則と呼ばれるものなのでしょうか?
ここでw_1,w_2,…,w_{n-1}は
w_1=1/(σ√(2π))exp(-x_1^2/(2σ^2)),
w_2=1/(σ√(2π))exp(-x_2^2/(2σ^2)),
:
w_{n-1}=1/(σ√(2π))exp(-x_{n-1}^2/(2σ^2)),
というx_1,x_2,…,x_{n-1}を独立変数とする関数という解釈で大丈夫でしょうか?
この時,w_1,w_2,…,w_{n-1}は正値ですよね?
そして, x=0の時が最大値(最頻値)を取るので
0<w_1≦1/(σ√(2π))
0<w_2≦1/(σ√(2π))
:
0<w_{n-1}≦1/(σ√(2π))
となり,
0<Σ_[k=1..n-1]w_k≦(n-1)/(σ√(2π))
よって
max|Σ_[k=1..n-1]w_k|=(n-1)/(σ√(2π)),
従って,
P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)は確率密度関数(釣鐘型曲線)の-∞からcσ√nまでの積分だから
n→∞の時,上端cσ√n→+∞なので
lim_{n→∞}P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)=1
と解釈しました。
それでもって
[問] P(max|Σ_[k=1..n-1]w_k|≦cσ√n)を式で表せ。
という問題なのですが,どのように解けばいいのでしょうか?
