大学入試の軌跡の問題

質問

次の問題の正しい解法は参考書を読んで理解できるのですが、自分の解法の誤りがどこにあるのかわかりません。
「原点Ｏを中心とする半径１の円に、その外部にある点Ｐ（a、b）から２接線をひく。接点をＭ、Ｎとし、線分ＭＮの中点をＱとする。Ｐが　x－y＋2＜0 …(1)　を満たす範囲にあるとき、Ｑの範囲を求めよ。」という問題です。
自分の解法は次の通りです。
「ＯＰの式は bx－ay＝0　　　ＭＮの式は ax＋by＝1
Ｑはこれらの交点なので、連立方程式を解き、Ｑ(X，Y)とおくと
X＝a/(a^2＋b^2)、Y＝b/(a^2＋b^2) となる。
よって、a＝X(a^2＋b^2)、b＝Y(a^2＋b^2)…(2)
点Ｐは(1)の範囲にあるので、　a－b＋2＜0　…(3)
これに(2)を代入して整理すると、Y＞X＋2/(a^2＋b^2)　…(4)
ここで a^2＋b^2 は(3)より、2より大きい値をとるので、
(4)のY切片 2/(a^2＋b^2)は0より大きい値をとる。
よって、求める範囲は円の内部で　Y＞X を満たす部分」

どこが論理的に間違っているのでしょうか。
正しい解答は　中心(－1/4，1/4)半径1/（2√2） の円の内部です。
よろしくお願いします。

回答No.2

tarame · ベストアンサー

＞どこが論理的に間違っているのでしょうか
(4)において、 a^2＋b^2をX,Yから独立させて考えているところが間違いです。
＞X＝a/(a^2＋b^2)、Y＝b/(a^2＋b^2) となる
このことから、X,Yは a,bによって決まる変数であることがわかります。X,Y,a^2+b^2 は互いに影響しあっているのですから、独立させて考えることはできません。

お礼

なるほど
ありがとうございました。
軌跡のときは特に、独立とか従属とか意識しなくちゃダメですね。
納得です。

回答No.1

oyamala

> X＝a/(a^2＋b^2)、Y＝b/(a^2＋b^2) となる。
> 点Ｐは(1)の範囲にあるので、　a－b＋2＜0　…(3)

これはおっしゃる通りです、しかしまずいのが以下です。

> これに(2)を代入して整理すると、Y＞X＋2/(a^2＋b^2)　…(4)

確かに式を変形するとこうなりますが、注意しなければならないのは
XとYがそれぞれa,bを変数とする関数になっていることです。
ですから、XとYの値もそれぞれaとbの値に依存するということです。
つまりX,Yとa,bが混在した式はあまり意味をなさないので、
この場合aとbを完全に消去した式を書かなくてはなりません。

X＝a/(a^2＋b^2)、Y＝b/(a^2＋b^2)
この式から、a = X/(X^2+Y^2), b = Y/(X^2 + Y^2)となりますから、
それを(3)に代入すると良いでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
たしかにその通りですね。

わからなくて２時間くらい悩んでました。
今は、すっきりしてます。
わかりやすい回答ありがとうございます。