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楕円の軌跡の問題です。
楕円の軌跡の問題です。 Ａ（３，０）、Ｂ（-１，０）からの距離の和が１２の点Ｐの軌跡は楕円であり、 その方程式は（ｘ－ｒ）^2／ｐ+ｙ^2／ｑ＝１ である。 ｐ、ｑ、ｒの値を求めろ。 という問題です。 条件からＡＰ^2+ＢＰ^2＝１４４ を利用してやってみたのですが、答えが間違って出てきました； 楕円の場合はこの方法だと導き出せないのでしょうか？ 解法を教えてください、よろしくお願いします。
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題意より ＡＰ+ＢＰ＝12 (1) この式の両辺を２乗すると ＡＰ^2+ＢＰ^2+2ＡＰ・ＢＰ＝１４４ これは質問者の用いた式と違います。 (1)を計算することによりだ円の方程式は求められますが 中心は（1,0）、つまりr=1 Pが(1,y)のとき 6^2=2^2+y^2 y^2=32=q Pが(x,0)のとき（x>0) (x-3)+(x+1)=12 x=7 つまり(7,0),(-5,0)を通る。 長軸は6 6＾2=36=p だ円の式は (x-1)^2/6^2+y^2/(4√2）^2=1
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- htms42
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ＡＰ＋ＢＰ＝１２ の時、ＡＰ^2＋ＢＰ^2＝１４４ としたところが間違いです。 初めにＡＰ＋ＢＰ＝１２でやってみようと考えたのであればそれで終わりまで道を付けてみるというのをやってみるべきです。楕円の一般式も分からないままに違う方法を考えようとしても無理です。 ＡＰ＝√((ｘ－３)^2＋ｙ^2) ＢＰ＝√((ｘ＋１)^2＋ｙ^2) を代入して整理すると ８(ｘ－１)^2＋９ｙ^2＝２８８ (ｘ－１)^2/３６＋ｙ^2/３２＝１ ｐ、ｑ、ｒ が求められました。
お礼
回答ありがとうございました! ＡＰ＋ＢＰ＝１２でもきちんと計算すれば解けるのですね；
- naniwacchi
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#2です。 もう少しだけ突っ込んで書いておきますね。 ・距離の 2乗については、#3さんの指摘どおりです。 ・この問題は、楕円の方程式の「標準形」をあてはめることを考えた方がよいです。 さて、楕円の方程式とは、焦点がどういう位置にありますか？ ・上の標準形での焦点の位置と問題での焦点の位置は「ずれて」いますね。 その分「ずらして」あげることを考えます。 順番としては、ずらして→標準形にあてはめるという形になります。
お礼
回答ありがとうございました!! 問題集で似たような問題があって、やり方が分かりました； 標準形になるようにずらすのが大切だったのですね。 もっと勉強したいと思います(__)
- naniwacchi
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こんばんわ。 ＞条件からＡＰ^2+ＢＰ^2＝１４４ を利用してやってみたのですが、 うーん、ピタゴラスの定理とごっちゃになっている感じが・・・ もう一度、よく考えてみてください。＾＾ 未知数が 3つなので、方程式（p, q, rの関係式）も 3つ必要ですね。
補足
回答ありがとうございます。 下の方の補足に書いた、解答に少しだけ載っている3つの式が多分未知数を解くのに必要なものだと思うのですが、どうしたらこの式が出てくるのかがいまいち分かりません・・ もう少し考えてみます；
- koko_u_u
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>条件からＡＰ^2+ＢＰ^2＝１４４ を利用してやってみたのですが、答えが間違って出てきました それをもっと詳しく補足にどうぞ。
補足
ありがとうございます。 条件からＡＰ＋ＢＰ＝１２なので、ＡＰ^2＋ＢＰ^2＝１４４ （ｘ－３）^2＋ｙ^2＋（ｘ＋１）^2＋ｙ^2＝１４４ 展開して整理すると （ｘ－１）^2／６８＋ｙ^2／６８＝１ となるのですが、答えは ｐ＝３６ ｑ＝３２ ｒ＝１ となっています。 解答に少しだけついている解説では （ｘ－１）^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１、２ａ＝１２、ｂ^2＝６^2－２^2 とだけ書かれているのですが、ａとｂが何なのかさっぱり分からなくて・・
お礼
ありがとうございました! 最初の2乗したところで間違えてましたね・・ 楕円の一般式との比較が必要だったのですね。 回答ありがとうございました。