今年の名古屋大学の入試問題（数学・文科系）について

質問

理解できない部分があるので、質問させてもらいます。

問３ xy平面上に３点 O(0,0) A(1,0) B(0,1) がある
（１）a>0とする。OP:AP=1:aを満たす 点P の軌跡を求めよ。

　　(1- a^2 )x^2 + (1- a^2 )y^2 -2x+1=0 より

　　 a=1 の時 点P の軌跡は
　　　x=1/2

　　a≠1 の時
　　　 ( x - 1/(1-a^2) )^2 + y^2 =( a/(1-a^2) )^2 …(1)
　　　　⇔ ( x + 1/( a^2 -1) )^2 + y^2 =( a/(a^2 -1) )^2 …(2)
　　0<a<1 の時 点P の軌跡は
　　　中心( 1/(1-a^2) , 0） , 半径 a/(1-a^2) の円
　　a>1 の時 点P の軌跡は
　　　中心( -1/(a^2 -1), 0) , 半径 a/( a^2 -1) の円

となるらしいです…（参考サイト http://nyushi.yomiuri.co.jp/11/sokuho/nagoya/zenki/sugaku_bun/kai3.html）

a=1の時の軌跡がx=1/2となる事は理解できます。
a=1以外の軌跡が円になる事や(1)．(2)の式の導出方法も分かります。
でも、なぜ
　　　 0<a<1 の時 点P の軌跡は
　　　中心( 1/(1-a^2) , 0） , 半径 a/(1-a^2) の円
　　　a>1 の時 点P の軌跡は
　　　中心( -1/(a^2 -1), 0) , 半径 a/( a^2 -1) の円
と、0<a<1の場合では(1)の式から中心と半径を導いて
a>1の場合では(2)の式から中心と半径を導くのか。ここの場合分けがよく理解できません。

どなたかわかる方いましたら、ご教授願います。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

以下，a > 0の場合のみを考えているものとし，「a > 0」といちいち断りません．

a≠1のとき，OP:AP = 1:aという条件から(1)が得られるわけですが，この式自体は，a≠1でありさえすれば，aが1より大きかろうが小さかろうが成り立ちます．しかし，(1)に現れる 1/(1 - a^2) という因子は aが1より大きいか小さいかによって符号が変わります．

a < 1なら 1/(1 - a^2) > 0
a > 1なら 1/(1 - a^2) < 0

中心のx座標は aが1より大きかろうが小さかろうが 1/(1 - a^2) です．

しかし，半径は
√{( a/(1 - a^2) )^2} = |a/(1 - a^2)|
なので，絶対値記号を使わないのであれば，aが1より大きいか小さいかによって場合分けが必要です．そこで，a > 1の場合は(2)を使っているのです．

aが1より大きかろうが小さかろうが，点Pの軌跡は(1)だけから
中心 ( 1/(1 - a^2), 0 ),
半径 |a/(1 - a^2)|
と主張し，絶対値記号を外すために a < 1 の場合と a > 1 の場合とに場合分けするという流れでも解答は可能で，このようにすれば(2)は不要です．

お礼

半径を正にするために、使い分けていたんですね。
すごく初歩的な所を分かってなかったみたい…

また、分からない所が出てきたら質問させてもらうつもりでいるので、
気が向いたら回答よろしくお願いします。

非常に丁寧で分かりやすい回答ありがとうございました!!