軌跡とその応用問題

質問

軌跡の問題です

座標平面上の２点Q(1，1)、R（2，1/2）に対して、点Pが円ｘ＾2+ｙ＾2=１の周錠を動くとき、次の問いに答えよ。
（１）△PQRの重心の軌跡を求めよ。
（２）点Pから△PQRの重心までの距離が最小となるとき、点Pの座標を求めよ。
（３）△PQRの面積の最小値を求めよ。

（１）は解けました。
（ｘ-1）＾2+{ｙ-(1/2)}＾2=1/9：中心（1，1/2）、半径1/3の円

すいませんがお願いします

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

計算だけで、解いてみよう。

＞（２）点Pから△PQRの重心までの距離が最小となるとき、点Pの座標を求めよ。

Ｐ(a、b)とすると、a＾2＋b＾2＝1　‥‥(1)
重心Ｇ(α、β)は、α＝(3+a)/3、β＝(3+2b)/6　‥‥(2)　であるから、ＰＧ＾2＝(α-a)＾2＋(β-b)＾2＝(1)と(2)を使うと＝{61-24(a+2b)}/36
従って、a+2bの最小値と、それを与える点(a、b)の値を求めると良い。
a+2b＝kとして、aを(1)に代入して　5b＾2-4kb＋k＾2-1＝0　‥‥(3)　判別式≧0より、｜k｜≦√5.
このとき、(3)から　b＝-2/√5、(1)より　a＝±1/√5

＞（３）△PQRの面積の最小値を求めよ。

面積を求める方法は幾つかあるが、次の公式を知ってると便利。

3点(x1、y1)、(x2、y2)、(x3、y3)で作る三角形の面積Ｓは　2Ｓ＝｜(x1-x3)*(y2-y3)-(x2-x3)*(y1-y3)｜　で求められる。

この公式を利用すると、4Ｓ＝｜2b-a-3｜‥‥(4)　となる。
2b-a-3＝k　として同じように判別式を使っても良いが、それではつまらないので別の解法にしよう。
(1)から　a＝cosθ、b＝sinθ　0≦θ＜2π　とすると、(4)の絶対値の中は、2sinθ-cosθ-3　これを合成して　-√5≦2sinθ-cosθ≦√5
絶対値を考慮して、Ｓ≧(3-√5)/4

回答No.4

naniwacchi

こんにちわ。
どこまでの範囲（数学Iだけで解くなど）によって、解法もいろいろ変わりますね。
三角関数が使える前提での解法を以下に。

まず、かならず図は描いてください。
ある程度位置関係を見ることは大事です。（答えの「当たり」をつけることもできますし）
点Pは円周上の点なので、P(cosθ, sinθ)（0≦θ＜ 2π）と置くことができます。

(1)解けているので解説は不要かと思いますが、
重心の座標を G(XG, YG)として、XGと YGをθを用いて表します。
cos^2(θ)+ sin^2(θ)＝1の関係式を用いてθを消去すれば、XGと YGの関係式が求められます。

(2)線分PGの長さが最小になるときを考えるので、PG^2をθを用いて表します。
三角関数の合成を用いると、
PG^2＝ 1/36* { 61- 6√5* sin(θ+α) }　（cosα＝ 1/√5, sinα＝ 2/√5）

と整理できます。
PG^2が最小となるのは、sin(θ+α)＝ 1のとき。
すなわち、θ+α＝π/2のときとなります。

あとは、そのときのθに対して
cosθ＝ cos(π/2-α), sinθ＝sin(π/2-α)から、点Pの座標が求まります。

(3)このまま成分を用いて計算してもいいですが。
辺QRが固定されているのでここを底辺ととらえれば、「高さ」が最小になるときを考えればいいことになります。
点Pと直線QRの距離が最小になるときの点Pを求めることになりますね。

回答No.3

mister_moonlight

うっかりミス。

該当箇所を次のように訂正して。

ＰＧ＾2＝(α-a)＾2＋(β-b)＾2＝(1)と(2)を使うと＝{61-24(a+2b)}/36
従って、a+2bの“最大値”と、それを与える点(a、b)の値を求めると良い。
a+2b＝kとして、aを(1)に代入して　5b＾2-4kb＋k＾2-1＝0　‥‥(3)　判別式≧0より、｜k｜≦√5.
このとき、(3)から　b＝2/√5、(1)より　a＝±1/√5

(注)
a+2b　の前の符号がマイナスだから、最小値ではなくて、最大値を求める事になる。

回答No.1

nag0720

考え方だけ

原点(0,0)をO、線分QRの中点をSとして、

（２）
点Pから△PQRの重心までの距離が最小ということは、点Pから点Sまの距離が最小ということです。
円上の点Pと円の外の点Sの距離が最小になるのは、原点Oと点Pと点Sが一直線に並ぶときです。

（３）
△PQRの面積の最小値になるのは、点Pと直線QRとの距離が最小になるときです。
点Pと直線QRとの距離が最小になるのは、直線OPと直線QRが直交するときです。