分からない問題があります、教えてください

質問

ｘｙ座標平面上の原点を中心とする半径７の円と
（-１０、０）を中心とする半径１の円があります。

この２つの円に外接するように円Pがうごくなら
Pの中心（a,b）の軌跡を求めなさい。

という問題です。

このとき、
Pの半径をｒとして
a^2＋b^2=(7＋ｒ)＾２
（a＋10）^2＋ｂ＾２=（１＋ｒ）^2

となりますよね。
ここからｒを消去すれば、軌跡の方程式が出来ると思います。

ここからが分かりません。
範囲を求めるときに、
5a＋３７＝４ｒ となるので（２つの式より）

5a＋37>0 として範囲を決めようとしたのですが、解と一致しません。

どのようにすればいいのでしょうか？
bとrだけの式もつくって、範囲をしらべる必要があるのでしょうか？

つまり、一般的に、こういった範囲を調べるときに
どのようにすれば漏れのない（回答として不備のない）範囲を求めることが出来るのか知りたいです。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

>5a＋37=4r となるので（２つの式より）
計算間違いしてませんか？

>a^2＋b^2=(7+r)^2 …(1)
>(a＋10)^2＋ｂ^2=(1+r)^2…(2)

(2)-(1)より
(a＋10)^2 -a^2=(1+r)^2 -(7+r)^2

公式A^2 -B^2=(A-B)(A+B)を使って
10*2(a+5)=-6*2(r+4)
5a+25=-3r-12
3r=-(5a+37)
r=-(5a+37)/3…(3)
r>0より
5a+37<0 ∴a<-37/5…(4)

>5a＋37>0 として範囲を決めようとしたのですが、解と一致しません。
範囲が上と逆です。

>bとrだけの式もつくって、範囲をしらべる必要があるのでしょうか？
特に無いでしょう。

(3)を(1)に代入して
a^2＋b^2=(7-(5a+37)/3)^2

整理して
16(a+5)^2 -9b^2 =12^2
{(a+5)^2}/9 -(b^2)/16=1 …(5)
これに(4)の条件がつきます。
(a,b)の軌跡を一般の流通座標(x,y)に直せばPの軌跡は
{(x+5)^2}/9 -(y^2)/16=1 (ただしx<-37/5) …(6)
となります。

なお、グラフを描けば分かりますが、軌跡の双曲線は左側の方ですから
(6)の双曲線の方程式で、y=0と置いてx=-8となるから
xの範囲は　x≦-8　となります。
なので(6)のただし書きのxの範囲は　x≦-8　としても良いです。
双曲線の左側だけを限定するだけの、但し書きのxの範囲であれば十分です。
(6)のxの範囲はr>0の条件から導出した条件ですが、rの最小値は2円の間隔-7-(-9)=２の1/2ですから r≧1としてx(すなわちa)の範囲を求めた方が良いかも知れません。しかし肝心なのは軌跡の範囲が(6)の双曲線の左半分の方を確実に限定できればxのただし書き条件は十分です。

お礼

本当に皆さんどうもありがとうございました！
一番分かりやすかったので、BAさしあげます！

回答No.3

mister_moonlight

＞a^2＋b^2=(7＋ｒ)＾２　（a＋10）^2＋ｂ＾２=（１＋ｒ）^2

としてしまうと扱いにくい事になる。

√(a^2＋b^2)＝7＋ｒ　‥‥(1)、√(（a＋10）^2＋ｂ＾2)＝１＋ｒ　‥‥(2)　とする。
(1)-(2)より、6＝√(a^2＋b^2)-√(（a＋10）^2＋ｂ＾2)。
簡単のために、a^2＋b^2＝Ａ、（a＋10）^2＋ｂ＾2＝Ｂとすると、√Ｂ＝√Ａ-6となる。
これは、√Ａ-6≧0、and、Ｂ＝(√Ａ-6)＾2と同値。
結果は　3√Ａ＝-(5a＋16)になるから、これは　5a＋16≦0、and、9(a^2＋b^2)＝(5a＋16)＾2と同値。　→　16(a+5)＾2-9b＾2＝12＾2　但し、a^2＋b^2≧36、5a＋16≦0。

＞どのようにすれば漏れのない（回答として不備のない）範囲を求めることが出来るのか知りたいです。

常に同値性に注意すると良い。

回答No.2

naniwacchi

おはようございます。

式変形の様子が見えないのですが・・・
＞Pの半径をｒとして
＞a^2＋b^2=(7＋ｒ)＾２
＞（a＋10）^2＋ｂ＾２=（１＋ｒ）^2

両辺差し引いてみたらどうなりますかねぇ・・・
なんか、2乗の項は消えていきそうですよ。＾＾

回答No.1

gf4m414

2つの円に外接するので

Pは半径9　（両端のｘ座標が　-11と7）ではないですか？

間違っていたらすみません。