速度に比例する力がかかっているのときの走行距離。

質問

初速度v_0で運動している質点がαｖ＋βｖの力を受けている時、静止するまでの走行距離Lを求めよ。
と言う問題なのですが、
(mv^2)/2=∫(0→L)(αｖ＋βｖ)dx
と言う式を立ててみました。しかし、右辺の積分が出来ずに困っています。分かる方教えてください。お願いします。
それとも他の方法でやるのでしょうか・・・。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

αｖ＋βｖの力は、初速度と反対の方向に加わるという設定でよろしいでしょうか。
　質問者さんの積分の式で解く方法は、私には分かりませんが、運動方程式を使えば次のように解けます。

　質点の質量をm、運動の方向に＋ｘ軸を設定すると、運動方程式は、
　　m (d^2x/dt^2) = -(αv+βv)
となります。ここで、d^2x/dt^2=dv/dt (∵v=dx/dt)であることに着目すると、上の運動方程式はｖに関する1階微分方程式になります。
　　m dv/dt = -(α+β)v
　これを、初期条件t=0のときv=v_0でとくと、
　　v = v_0 exp{-(α+β)/m・t}
と求められます。
　ここで、質点が静止するまでの時間を求めますと、v=0となるためにはt→∞となり、無限大の時間がかかることが分かります。

　次に、ｘについて解いていきます。
　先ほどのｖに関して求めた式をｔで積分していきますと、初期条件t=0でｘ=0を使えば、
　　x = -m・v_0/(α+β) [exp{-(α+β)/m・t} -1]
と求められます。
　ここで、静止するまでに無限大の時間が必要なことから、
　　L = [t→∞]lim x
となり、これを求めると、
　　L = m・v_0/(α+β)
と求められます。

お礼

回答ありがとうございました。このように計算するんですね！勉強になりました！