力と質点の運動

質問

お世話になります。次の問いの答えと解説をおねがいできませんか？（平成10年度の技術士１次試験の問題です）。

種々の場における質点の運動に関する次の記述の中から正しいものを選べ。
１）場所によらず、一定の大きさと方向の力を受ける質点は、常に直線運動をする。
２）場の中心からの距離に反比例した引力を受ける質点は、常に楕円運動をする。
３）場所によらず、自分自身の速度に正比例し速度と逆向きの力を抵抗力を受ける質点は双曲線運動をする。
４）場の中心からの距離に反比例した斥力を受ける質点は、常に円運動をする。
５）場所によらず、自分自身の速度に正比例し速度に直交する力を受ける質点は、常に放物線運動をする。

すみません、自分でじっくり調べるべきなのですが・・
それぞれの運動に必要な力についても簡単にご説明頂けると幸いです。

回答No.6

nubou · ベストアンサー

2)はやはり，「場の中心からの距離に反比例した引力を受ける質点」です．：

２）は一番正解臭いですね
誰かが答えるのを待っていますがなければ暇なときにもう少し考えるかもしれません（今はちょっと忙しいので分からないという結論をだしました）

「場の中心からの距離の２乗に反比例した引力を受ける質点は、常に楕円運動をする」はうそである．放物線と双曲線になりうるからね
これは，速度が速いと双曲線運動をして，遅いと放物線運動をするってことですか？すごい素人な質問・・如何せん，双曲線運動って何か知らないので・・
ふと思ったのですが，初速が無ければ，中心に向かって直線運動もするって考えもありですかね？：

初速が速いと放物線や双曲線になります
放物線は境界の曲線なのでそれになる可能性は０に近いですが初速と位置をちゃんと与えれば理論上放物線運動します
双曲線は中学校でも習うあのありふれた曲線です
円や線分は楕円とみなします

4)は斥力は向心力とは逆向きの力ってことですね・・・
円運動をしていれば円の中心に向かって加速しているわけだから
ニュートンの第２法則により円の中心に向かって力が働いていなければなりません
一点からの斥力だけだとそのような力は出ていないでしょう

5)は，なるほど，間違ってそうですね．ここで，円運動にもなると書かれていますが，力の大きさによっては，放物線運動や双曲線運動もありうるのでしょうか？ ：

方程式はｅを任意のベクトルとして
ｒ”＝ｒ’×ｅ
ｅの方向をｚ方向にとるｅ＝（０，０，ｃ）
従って
ｘ”＝ｃ・ｙ’
ｙ”＝－ｃ・ｘ’
これを解けば円になる
しかしｅが時間とともにｒ’に垂直な方向で回転する場合には立体的な図形になる

ここで，みなさんご指摘の正解があるのか？ということですが，五択のマークシート問題なので，正解はひとつあるはず．
２を選択するしかないとの，みなさんのご意見ですが，・・・・．これは問題がおかしいのですか？：

２）以外はすべて間違いです
私の結論は
消去法より正しいものがある場合には２）ということになります

お礼

ありがとうございます。

>誰かが答えるのを待っていますがなければ暇なときにもう少し考えるかもしれません（今はちょっと忙しいので分からないという結論をだしました）

密かに期待しつつ、このスレをしばらく残させて頂きます。
その間に自分なりに勉強してみます。基礎的な知識が少なすぎて話に十分ついていっていないので・・・

回答No.10

acacia7

回答っていうかどうやら決着ついたのかな・・っていうところで・・
お二方の議論の場へのリンク。

どうやら解なしの様ですね。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=363152

お礼

ありがとうございます。
もはや、ど素人の私の頭ではついていけないところへ話が行ってしまって、おそるべし・・です。
悔しいので、このスレへの回答や、お二方の議論の場での話がある程度理解できるように、勉強します。
でも結局、私の質問の答えってなんか・・・。

回答No.9

nubou

密かに期待しつつ、このスレをしばらく残させて頂きます。：

古くなると限られた人しか見ないし
２）以外は答えはもうでているし
２）だけを切り出して再質問したほうがいいのでは？
短文で簡潔で単一の質問は回答が得られやすいものですから
（私も一見してこの質問は読むのがわずらわしいので最初パスしていたが箇条書きで意外に簡潔だったので気分転換になると思い考えてみた）

たとえば

ｔを時間変数としてＫを正の実数としてｒ（ｔ）を位置ベクトルとして
（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ）＝－Ｋ・ｒ（ｔ）／｜ｒ（ｔ）｜＾２
を満たすｒ（ｔ）の軌道はどのようになるのでしょうか？

がいいのでは？

お礼

ありがとうございました。
パソコンが壊れていて・・返事遅くなりました。すみません。ハードディスクが・・。
正直なところ、軌道を計算するという概念が今までまったくなかったので、なかなか考え事ができませんです・・さみし・・
また出直してきます。あほな私ですが、何かの折にはまたお願い致します。
本当にありがとうございました。

回答No.8

acacia7

あちゃぁ・・いろいろツッコミが・・
確かに・・

nubouさんのおっしゃるとおりでごじゃるなぁ。

二次曲線上で運動するんなら双曲線も放物線もありましたなぁ。

５）にしても、確かに力が一点に向かう様に発生するとはかぎらなかったのねぇ。

そうですねぇ。
それぞれの運動についての考え方はですねぇ。
まったいらなゴムの地平を考えて・・
そこの一点に糸をくっつけて、下に引っ張ってできるような凹みを考える。
・・想像できます？滑らかな凹みが・・
このへこんだところの回りを小さなボールが転がる様を真上から観測してる
のが、さまざまな二次曲線です。

ボールが受ける力はゴム面の傾きによって決まり、
なだからなところでは弱い力が、急なところでは強い力がかかります。

さて、ここで運動エネルギーを位置エネルギーを考えます。
点の傍によれば寄るほど、位置が低くなり、位置エネルギーは小さくなりんす。
で、ボールの持つエネルギーは運動エネルギーと位置エネルギーなわけですが・・
ゴムの地平の無限遠の高さを位置エネルギー０として、
エネルギー０のボールは（「点」を通らなければ、）放物線を描きます。
エネルギーが負だったら（「点」を通らなければ、）楕円を描きます。
エネルギーが正だったら（「点」を通らなければ、）双曲線を描きます。
・・といっても、ゴム面が点からの距離の二乗に依存した傾きを持ってる場合ですけども・・

さぁ・・イメージだけですが・・どうでしょう？・・（笑）

回答No.7

oshiete_goo

#4の者です.
うるさく言えば, (2)が『中心からの距離に"比例した"引力を受ける質点は、』
と修正されても, 初期条件に依存します．
つまり，初期条件によっては(狭い意味の)楕円運動にはなりません.

これは, 原点からの(自然長が無視できる)バネにつながれた質点ということで，

ｔ＝０で，例えば原点にあったとして，初速度について，
＜１＞Vx=0，Vy=0ならそのまま静止．
は自明解です．
一方，初期に原点に無かったとして，
＜２＞x軸上にあって，Vx≠0，Vy=0ならx方向のみの単振動．
＜３＞y軸上にあって，Vx=0，Vy≠0ならy方向のみの単振動．
＜４＞Vx≠0，Vy≠0なら両方向の単振動の重ね合わせで，（一般には）楕円運動．
なお，＜４＞で，例えばVx≠0，Vy＝0なら，y方向はその瞬間に最大振幅の点にいて，やはり，楕円運動です（いずれも円の場合も含む）．

というわけで，どれも怪しげな選択枝ですが，(2)が
『距離に比例した引力』なら＜１＞，＜２＞，＜３＞も，強弁して広義の楕円と言えば，まあ一番ましな答えと思ったのですが．．．

なお，(2)が『距離の２乗に反比例した引力』ならケプラー運動で放物線や双曲線もあることは，既にご指摘のあったことで，さすがにこれを楕円と言い切るのは無理でしょう．

そういう次第で，出題ミスなのか，何なのか，（２）が近そうには思いますが．．．

回答No.5

nubou

１）
すでにあるように放物線もあるから
×

３）
ｋを正の実数としｒを位置ベクトルとすると
ｒ”＝－ｋ・ｒ’
といて
ｒ＝ｅｘｐ（－ｋ・ｔ）・ａ＋ｂ
ただしａ，ｂはそれぞれ任意ベクトル
ｒ＝（ｘ，ｙ，ｚ），ａ＝（ａ１，ａ２，ａ３），ｂ＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３）とすれば
（ｘ－ｂ１）／ａ１＝（ｙ－ｂ２）／ａ２＝（ｚ－ｂ３）／ａ３
従って直線だから
×

４）
円であれば常に円の中心からの向心力が要るから
×

５）
円といいたいが垂直方向がいろいろな方向に取れるので一般には立体的な図形になる
もちろん円になる場合（平面内運動の場合）もある
×

１つならば消去法で２）だけど分からない
２）の場合方程式が
ｒ”＝－ｋ・ｒ／｜ｒ｜＾２　（０＜ｋ）
だけどこれから軌道が出るのかな？

ちなみにたとえ「場の中心からの距離の２乗に反比例した引力を受ける質点は、常に楕円運動をする」はうそである
放物線と双曲線になりうるからね
この方程式からは容易に軌道は出るのだが・・・

政界があるのならいちかばちかで２）につけよう

お礼

ありがとうございます．
他の方への補足なども含めて，書かせて頂きます．

1)は放物線運動も考えられるので，×ということですね．分かります．

2)はやはり，「場の中心からの距離に反比例した引力を受ける質点」です．
＞「場の中心からの距離の２乗に反比例した引力を受ける質点は、常に楕円運動をする」はうそである．放物線と双曲線になりうるからね
これは，速度が速いと双曲線運動をして，遅いと放物線運動をするってことですか？すごい素人な質問・・如何せん，双曲線運動って何か知らないので・・
ふと思ったのですが，初速が無ければ，中心に向かって直線運動もするって考えもありですかね？

3)は直線に・・ん～素人目にもそうですね．

4)は斥力は向心力とは逆向きの力ってことですね・・・

5)は，なるほど，間違ってそうですね．ここで，円運動にもなると書かれていますが，力の大きさによっては，放物線運動や双曲線運動もありうるのでしょうか？

ここで，みなさんご指摘の正解があるのか？ということですが，五択のマークシート問題なので，正解はひとつあるはず．
２を選択するしかないとの，みなさんのご意見ですが，・・・・．これは問題がおかしいのですか？

私としては同じ問題が出ることはないので，ポイントさえ，押さえれれば良いのですが・・
できれば，質点が楕円運動，円運動，双曲線運動，直線運動するときの，ポイントとなる力について，簡単にまとめて頂けるとありがたいです．

回答No.4

oshiete_goo

#1でも書かれていますが, 正解は1つですか? それとも『正解なし』とかもあり?
また, 2)の問題文は正しいでしょうか.
『反比例』でなく, 『比例』なら楕円運動ですが...

お礼

ありがとうございます．
#4にまとめてお礼，補足，質問などさせて頂きます．

回答No.3

acacia7

またまた、ごめんなさい。
やっぱり、最初の答えであってるじゃん。（＾＾；；；；
「正比例」ですもんね。
他の反比例とごっちゃになってた。（＾＾；；

回答No.2

acacia7

うそ。（－－；；
ごめんなさい。
3番嘘書いてる。

これって・・・・・・・直線運動だけど・・とまらないや。

回答No.1

acacia7

ちょいとわかるものだけ・・っていうかこれって正当は１個だけですかね・・

１）これは・・ちがいますよね・・
反例＞地上での物体の放物線の運動を考えるとわかりますよね。

２）こーれーは・・ちょっと謎・・（＾＾；
距離の二乗に反比例だと重力と同じなので楕円運動ですけどね・・

３）速度に反比例・・で逆向き・・ってこれは・・直線運動じゃないですかね・・
速度０で外力０なので・・とまっちゃいますね。
巨大な豆腐に弾丸を打ちこんだ状態ですかね。
双曲線運動はしませんね。

４）場の中心から距離の二乗に反比例して斥力を受けたら、
金属に電子を当てたときの散乱と同じですけどね。
とりあえず、円運動じゃないですね。

５）場所によらず、速度に正比例して・・直行する力を受ける・・
って速度に正比例でもなんでもいいんですが、常に速度に直交して力をうけてたら・・するのは円運動ですね。

となると・・２番が正解なのかな・・

お礼

ありがとうございます．
#4にまとめてお礼，補足，質問などさせて頂きます．