力積の問題

質問

学校で力積の問題が出されました。解いてみたことは解いたのですが、答えが違うように感じました。

ともに質量ｍの箱と質点がある。この質点を、静止している箱の中に入れて質点に初速度ｖ。←ブイゼロ　を与える。質点はまず箱の壁面Ａに衝突し、跳ね返って次に箱の壁面Ｂに衝突する。こうして何度も衝突を繰り返すうちにそれぞれの速さがどうなるか考える。

ただし、反発係数は0＜e＜1であり、箱は滑らか床の上に置かれ、箱と質点、箱と床の間の摩擦はない。

（1）1回目の衝突後のそれぞれの速さ（箱V1,質点v1）はいくらか？

　私は、　ｍv。＝mv1＋mV1
e＝－（v1－V1）／v。としました。
　この式はあっているんでしょうか、衝突後の向きによって－を付けるのかよくわからなかったんですが、私は文字の中に－が含まれているという形で解いたのですが、皆さんが考える回答を教えてください。

回答No.2

T-gamma

反発係数の意味は
｜衝突後の相対速度｜＝e×｜衝突前の相対速度｜・・・(1)
です。つまり、「最初の相対速度の何倍になっているか？」と考え時に「○倍です」の○がeに当たります。
しかしながら、壁との衝突を考えると分かりやすいですが相対速度（壁との衝突の場合は絶対速度でも可）の向きは必ず反対になります。
たとえば衝突前後の相対速度をＶ１－ｖ１、Ｖ２－ｖ２と書くとすると、
Ｖ１－ｖ１＞０のときはＶ２－ｖ２＜０
Ｖ１－ｖ１＜０のときはＶ２－ｖ２＞０
となります。（ただし、e=0のときはＶ２－ｖ２＝０）
したがって(1)の式は
（衝突後の相対速度）＝－e×（衝突前の相対速度）…(2)
となります。
ただし、これらはＶ１、ｖ１、Ｖ２、ｖ２が全て同じ向きを正と考えていることが前提です。これらが大きさ（右向きでも左向きでも正の値）で考えているときは、(1)で考えてみるといいです。
反発係数の式は丸暗記ではなく、相対速度と関連させて理解したほうが臨機応変に対応できると思います。

ちなみに、質問に対する答えは
ｍv。＝mv1＋mV1
e＝－（v1－V1）／v。
であっています。ただし、ｖ１、Ｖ１はｖ。と同じ向きを正として考えていることに注意してください。

回答No.1

noname#44733

まず結論を言いますと、その式はv1がマイナスで出てくることを除けば問題はありません。

v1もV1もv0と同じ向きを正として考えていますね。ただ、問題では速さをv1,V1としているのでそれらは正を要求されています。
今、状況を考えればv1だけ向きが違うことが分かるでしょう。つまりその考えではv1の計算結果が負になるはずです。もちろんその絶対値が問題で問われているv1となるわけですが・・解答では別の文字を使っておいたほうがいいでしょう。V1のほうは問題ありません。
さてそれは別として、第二式のマイナスは必須です。右辺の分母も分子は両方とも（衝突前後それぞれの）「箱に対する（箱から見た）質点の」相対速度です。「箱に対する質点の相対速度」は衝突前後で符合が変わりますからマイナスが必要なわけです。

補足

ご回答ありがとうございます。ちなみに（１）の回答結果は、
v1=(1-e)/2 V1=(1+e)/2になりました。あってるかわかりませんが…もしお暇があれば続けて回答お願いしたいのですが
(2)n回目の衝突とn+1回目の衝突後のそれぞれの速さ、Vn+1,Vn,vn+1,
vnの漸化式をかけ

この問題は(1)と同様にv2,V2,v3,V3と求めていき強引に式を作ると言う形でいいんでしょうか？