距離と速度と加速度の話

質問

レベルが低い質問で申し訳ないのですが、

ある乗り物があったとします。

この乗り物の加速度が現在速度vをパラメータとして２次式で以下の式で表されるとします。

a=0.0002v^2-0.0445v+3.2951

初速度はv0=0として、
１．t秒後の速度
２．xメートル走行後の速度
３．xメートル走行に要する時間

の３つを求める式はどのように作ればよいのでしょうか。昔、積分を使って計算した気がするのですが、どうも忘れてしまって、計算できません。

パソコンで計算させるので、複雑な式でもかまいませんから、結果としての数値表ではなく、パラメータを用いた関数として教えていただければ、と思います。

宜しくお願いします。

回答No.4

atsuota · ベストアンサー

積分は解析的に求めるのでしょうか？
とりあえず解を求める方向性を書いておきます。
具体的な積分などは解析的に求めるか、プログラムで数値的に求めてください。

加速度aは速度vの時間微分ですから、
a=0.0002v^2-0.0445v+3.2951
より、
dv/dt=0.0002v^2-0.0445v+3.2951
よって初期条件も考慮すると、
∫1/(0.0002v^2-0.0445v+3.2951)dv(0～v)=t(v).....(1)
左辺の積分を実行すると、時間tが速度vの関数として書けるので、
逆解きして速度vが時間t時間の関数として書けます。
これが問題１の解ですね。

次に速度vは走行距離xの時間微分ですから、
dx/dt=v(t)
ここで右辺は問題１で求めました。
初期条件(x(t=0)=0)も考慮して、両辺時間積分すると
x(t)=∫v(t)dt(0～t).....(2)
よって右辺積分を実行すると、走行距離x(t)が求まります。
これを逆に解いて、走行距離xのときの時間t=t(x)が求まります。
これが問題３の解ですね。

さらに、問題１の解v(t)のtに今求めた解を代入すれば、
速度vが走行距離xの関数として書けます。
これが問題２の解ですね。

これでいかがでしょう。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました。

この計算で答えが求められることは理解できました。しかし、私の知識が乏しく、高校時代の教科書は家においたままであるため、(1)左辺の積分を解き切れません。（というより、情けないことに、分数の積分の解き方を忘れてしまっていて、周囲の人間とともに考えたのですが、解けないのです。）

とりあえず、帰宅後にでも教科書を引っ張り出したいと思います。

回答No.6

guiter

＞加速度は今回の場合、m/s^2 で計算してあります。速度はm/s です。
この単位だと、先程の結果に質問の数値を入れて plot したところ
200秒付近で発散してしまうのですが、時間は200秒以内でよいのでしょうか？

あと、お節介かもしれませんが
今の数値だと、ｖ^2 の係数からの誤差が効いていて
3.2951 のような桁数はいらないですね。

お礼

有り難うございました。

皆さんからの回答を頂いたあと、会社で色々考えていたのですが、どうやら近似式に若干問題があるようでした。

結論から言うと、２００秒以内の話ですので問題はないのですが、近似を指数近似に変更した方が色々都合が良さそうなので、再度明日会社で近似をやり直そうと考えております。

それと誤差については仰るとおりですね。近似を Excel でやったもので、その結果の式をそのまま使っていました。以後気を付けます。

回答No.5

guiter

やり方は atsuota さんの仰るとおりです。
今の数値の場合は

a=0.0002,b=-0.0445,c=3.2951
√=√(4ac-b^2)

として、積分を実行すると

　t(v) = 2/√*[ Arctan{(2av+b)/√} - Arctan{b/√}　]

となります。これを逆に解いて

　v(t) = [√tan{√/2*t + Arctan(b/√)}-b]/2a

さらに、積分定数を x0 として積分すると

　x(t) = -1/a*log| cos{√/2*t + Arctan(b/√)} | - b/2a*t + x0

となりましたが、これを逆に解いて　t(x) はきびしいですね。
したがって、２と３はやっていません。
上に挙げた３つの式から後は数値的にやってみてください。
また、∫1/(av^2+bv+c)dv(0～v)　の積分の際

　2av+b = √(4ac-b^2)*tanθ　

と変数変換しました。
一応結果を確認してください。

回答No.3

ryumu

加速度は位置の二階時間微分、速度は位置の一階時間微分なので、この

ａ＝Ａｖ＾２＋Ｂｖ＋Ｃ

のかたちを（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを定数として）、

ａ＝Ａ（ｖ＋Ｄ）＾２＋Ｅ

にして、ｖ＋Ｄの微分はａと同じことから、ｖ＋Ｄ＝Ｖとして

ｄＶ／ｄｔ＝ＡＶ＾２＋Ｅ

を解いて・・・・てのはだめですかね？？？

どこかの本に解がありそうですが・・・
すんません・・・見つかりません・・・＾＾；

回答No.2

Durandal

加速度を速度の二次関数で表記することは可能です。
工学屋さんと物理屋さんだけですが。
これの場合は加速度そのものが変化するのですよね。
初期加速度＝３．２９５１
１秒後は３．２９５１進んでいる
速度１の時は加速度３．２５０８
加速度の加速度を求めればいけますね。

あとは単位がないと数値が正しくとも０点です。

お礼

早速のお返事をありがとうございます。
また、言葉が至らず、失礼しました。

加速度は今回の場合、m/s^2 で計算してあります。速度はm/s です。

加速度の加速度ということは、単純に考えると、加速度が単位時間あたりにどれくらい変化しているか、といった数値ですよね？

ちょっと頭を整理してみます。

それと、さっき気がついたのですが、２次近似よりは指数近似の方が近似として正しいような気がしてきました。実際のところ、どちらの近似を使うのが良いのでしょうか。

それはともかく、時間を割いての回答をありがとうございます。

回答No.1

Durandal

速度は距離と時間の関数
加速度は速度と時間の関数
　　　　距離と時間の二次関数
なのですがその式では速度の二次関数になってます。
式の確認をお願いします。

補足

乗り物ですので、いわゆる各速度における加速度を実測し、それを、２次式にて近似しました。その関係で、加速度が速度をパラメータとする２次関数で表されています。

従って、式自体に書き間違い等はありません。

積分等を多用してむりやりにでも式ができれば、と思ったのですが、やはり、速度をパラメータとした式では計算できないのでしょうか？