ある関数とlogxについて(まったく解りません)

質問

抽象的な題名で申し訳ありませんでした。

具体的には
「y=x^(1/x)のグラフの増減を調べるために、logxが増加関数であることからx^(1/x)とlog{x^(1/x)}=(1-logx)/x^2の増減が一致することを用いる。」
「y=(1+1/x)^xの増減はlogyの増減に等しく・・・・」

というような文章が理解できません。後者はeの定義式に似ているのでわかった気がしましたが、前者を見る限り、あまりそのことは関係ないようです。

どなたか教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

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y=x^(1/x)に関してだけなら、なにも此処までの記述は不要に思われます。単に対数微分を実行して、

logy＝(1/x)（logｘ）
y'/y＝(1/x^2)ー(logｘ/x^2)
　　　＝(1-logx)/x^2
y'＝y(1-logx)/x^2
増減に関与するのは(1-logx)。
尚この関数の性質から、Ｘ＞０

どうも後半の関数のための準備のようにおもわれます。
ーーー
y=(1+1/x)^x
関数の性質から、Ｘ＞０
logy＝x（log（1+1/x））
y'/y＝x（log（1+1/x））
=（log（1+1/x））-x(1/x^2)/（1+1/x）
=（log（1+1/x））-1/(x+I)
ここで此の関数が（≧０）を示す事になります、

F(x)=（log（1+1/x））-1/(x+I)
F'(x)=(-1/(x^2))(1/（1+1/x）+1/(x+I)^2
=-1/x(x+I)^2
となり、
y'/yは単調減少になります。

と言うことは、
x→∞のとき
（log（1+1/x））-1/(x+I)→α≧０
を示す事になります。
両辺に(x+I)を乗じておいてもＯＫですので、
(x+I)（log（1+1/x））-1　→α’≧０を示します。

x→∞のとき
P=(x+I)（log（1+1/x））-1
=（log（1+1/x））+x（log（1+1/x））-1
=（log（1+1/x））+（log（1+1/x）^x）-1
e　の定義を使用すると、
（1+1/x）^x → e
（log（1+1/x）^x）→1
また、（log（1+1/x））→0
結局、P→0　となって、
y'/y≧０
y'≧０
即　ｙは単調増加となります。
ーーー
かなり、判りにくい記述になりました。
また、貴殿の提示した解法は一切使用しておりません。
ただし、＜貴殿の提示した解法＞でも同形となることは確認しました。
＜貴殿の提示した解法＞は巧みではありますが，はなはだ判じ難く回避しました。

補足要求があれば詳説したいと思います。

回答No.5

noname#101087

>「y=x^(1/x)のグラフの増減を調べるために、logxが増加関数であることからx^(1/x)とlog{x^(1/x)}=(1-logx)/x^2の増減が一致することを用いる。」

#1 です。
当方は誤読してたようなので、少しばかり再吟味の蛇足です。

引用文の趣旨は、
　　x と Ln(x) の増減は一致するから、x^(1/x) の代わりに Ln{x^(1/x)} の増減を調べればよい。
ということらしいですね。(Ln は自然対数)
　[Ln{x^(1/x)}]'=(1-Ln)/x^2
から極大点(x=e)がわかり、Ln{x^(1/x)} の増減を把握できます。

当方の初めのコメントの、
　y'=y*{(1/x)*ln(x)}'=y*{1-ln(x)}/x^2
を使って y の増減を調べる場合でも、y=x^(1/x)>0 (x>0) を「暗黙の前提」にしてました。

お礼

みなさま、ありがとうございました。

一応理解できました。

回答No.4

info22

#2です。
補足質問に回答します。
＞これについてもx＞0で
＞y＝f(x)＝(1+(1/x))^xとy＝g(x)＝logf(x)＝xlog{1+(1/x)}
＞の増減は一致する。
＞ということが言えます。
＞なぜでしょうか。微分するとまったく同じものにでもなるのでしょうか。

微分は関係ありません。

＞確かに両方とも増加関数という点では一致しますが。

0＜x＜Xに対して
log(x)＜log(X)
が成り立ちつからですね。
(増加関数、f'(x)=(log(x))'=1/x＞0)。

f(x)とg(x)=log(f(x))について

0＜x0＜X0に対して
f(x0)＜f(X0)であればg(x0)＜g(X0)が成り立ち
f(x0)＞f(X0)であればg(x0)＞g(X0)が成り立ちます。

つまり、あるxの付近でf(x)が増加すれば、g(x)も増加し
別のxの付近でf(x）が減少すれば、g(x)も減少するということです。

つまり、f'(x)とg'(x)の符号は一致する。しかしf'(x)とg'(x)は同じ関数ではない。
ということです。

回答No.2

info22

＞y=x^(1/x)のグラフの増減を調べるために、
＞logxが増加関数であることから
＞x^(1/x)とlog{x^(1/x)}…の増減が一致する

x＞0の範囲で合っていますが

＞log{x^(1/x)}=(1-logx)/x^2
この式は等しくないですね。

{log{x^(1/x)}'=(1-logx)/x^2}です。
「log{x^(1/x)}の増減は{log{x^(1/x)}'=(1-logx)/x^2}を使って調べる」が正しい表現ですね。

◎前半を正しい文章にまとめると以下のようになります。
y=x^(1/x)のグラフの増減を調べるためには、x＞0の範囲でlogxが増加関数である性質を使えば、
f(x)＝x^(1/x)…Aとg(x)＝logf(x)＝log{x^(1/x)}…B
の増減は一致する。
その増減はg(x)を微分して出てくる導関数g'(x)＝(1-logx)/x^2…Cの使って増減表を書いて調べることができる。

つまり
0＜x＜e（ネイピア数）で
　g'(x)＞0でg(x)は増加、従ってf(x)も増加
x＝eで
　g'(e)＝0で極大値（実は最大値）をとる。
x＞eで
　g'(x)＜0でg(x)は減少、従ってf(x)も減少
ということが分かる。

＞y=(1+1/x)^xの増減はlogyの増減に等しく・・・・
これについてもx＞0で
y＝f(x)＝(1+(1/x))^xとy＝g(x)＝logf(x)＝xlog{1+(1/x)}
の増減は一致する。

ということが言えます。

補足

ありがとうございました。

これについてもx＞0で
y＝f(x)＝(1+(1/x))^xとy＝g(x)＝logf(x)＝xlog{1+(1/x)}
の増減は一致する。

ということが言えます。

なぜでしょうか。微分するとまったく同じものにでもなるのでしょうか。確かに両方とも増加関数という点では一致しますが。

回答No.1

noname#101087

>y=x^(1/x)のグラフの増減を調べるために、logxが増加関数であることからx^(1/x)とlog{x^(1/x)}=(1-logx)/x^2の増減が一致することを用いる。

(実関数だとして x>0 で考える)
　y=x^(1/x)=exp{(1/x)*ln(x)}
ですから、
　y'=y*{(1/x)*ln(x)}'=y*{1-ln(x)}/x^2
を使って y の増減を調べる、ということではないでしょうか。