対数・絶対値・絶対値の対数を取る事についてです。

質問

log｜x｜=log｜y｜⇔x=y⇔｜ｘ｜＝｜ｙ｜⇔logx=logy
⇔は同値です。合ってますか？

回答No.4

comyuto · ベストアンサー

Ｎｏ２・３です

log|x|=log|y|　…(1)
x=y　…(2)
|x|=|y|　…(3)
logx=logy　…(4)

結論
(1)⇒(3)　　　　　　（ｘ、ｙ≠０）
(2)⇒(3)
(3)⇒×　　　　　　　
(4)⇒(1)、(2)、(3)　　（ｘ＝ｙ＞０）

ｘ、ｙが０以外の実数の時　という条件付きであれば
(1)⇒(3)
(2)⇒(3)
(3)⇒(1)
(4)⇒(1)、(2)、(3)

０＜ｘ、ｙの条件付きの場合
(1)⇔(2)⇔(3)⇔(4)

お礼

ありがとうございます。
という事は
x=y⇒｜ｘ｜＝｜ｙ｜
x=y⇒logx=logy(x,y>0)
x=y⇒log｜x｜=log｜y｜
が成り立つんですね。

回答No.5

comyuto

度々追記すみません

ｘ、ｙが０以外の実数の時　という条件付きであれば

(2)⇒(1)、(3)でした　　（(1)の書き忘れです）

お礼

追記ありがとうございます。
という事は
x=y⇒｜ｘ｜＝｜ｙ｜
x=y⇒logx=logy(x,y>0)
x=y⇒log｜x｜=log｜y｜
が成り立つんですね。

回答No.3

comyuto

No2です

少し訂正です
ｘ＝ｙ　⇒　|x|=|y|
にはなりますが⇔にはなりませんね
例ｘ＝１　ｙ＝－１の場合
|ｘ|＝|ｙ|
|１|＝｜-1｜
１＝１

ｘ＝ｙ
１＝－１　　（成り立ちません）

お礼

訂正ありがとうございます。
結局
x=y⇒｜ｘ｜＝｜ｙ｜
x=y⇒logx=logy(x,y>0)
x=y⇒log｜x｜=log｜y｜
という事ですか？

回答No.2

comyuto

log|x|=log|y|　…(1)
x=y　…(2)
|x|=|y|　…(3)
logx=logy　…(4)

とします（分かりやすくするため）

(1)の場合　ｘ、ｙに絶対値が付いているわけですから　0以外のすべての実数が成り立ちます。
※log０は存在しません。
(2)の場合０を含むすべての実数が成り立ちます。
(3)の場合０を含むすべての実数が成り立ちます。
(4)の場合x、y共に０＜ｘ＝ｙ（０より大きい実数）でなければなりません。

(2)と(3)はイコール関係にあれど他は⇔にはなりませんね。

お礼

ありがとうございます。
結局
x=y⇒｜ｘ｜＝｜ｙ｜
x=y⇒logx=logy(x,y>0)
x=y⇒log｜x｜=log｜y｜
という事ですか？

回答No.1

trytobe

y = ±x で、log｜x｜=log｜y｜⇔｜ｘ｜＝｜ｙ｜ ですが、

y = -x では、log｜x｜=log｜y｜⇔｜ｘ｜＝｜ｙ｜でも、x≠y です等式が成立しませんし、logx か logy は x,y のどちらかが負か０のために定義されず等式が成立しないですよね。

お礼

ありがとうございます。
ダメなのもあるんですね。
高校数学で習った事的に、最低限
x=y⇒｜ｘ｜＝｜ｙ｜
x=y⇒logx=logy
x=y⇒log｜x｜=log｜y｜
は成り立つという事ですか？