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関数方程式における未知関数とは？
- 関数方程式において、未知関数とは指数関数や対数関数などの式の中で変数として扱われる関数のことを指します。
- 例えば、指数関数f(x + y) = f(x)f(y)では、f(x)とf(y)が未知関数です。
- 対数関数f(xy) = f(x) + f(y)では、f(x)とf(y)が未知関数です。
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f(t) = e^tだから f(y/x) = e^(y/x) f(x/y) = e^(x/y) よって、 y' = dy/dx = e^(y/x) y' = dy/dx = e^(x/y) となる。 このままの形では、変数分離法で解くことはできない。 なので、回答NO６で示した ∫{1/(f(t)-t)}dt = ∫(1/x)dx + c （a） を使うのよ。 すると、 ∫{1/(e^t-t)}dt = ∫(1/x)dx + c （b） ∫{1/(e^(1/t)-t)}dt = ∫(1/x)dx + c （c） が解となる。 右辺はとにかく、 見た感じ、 （b）（c）式の左辺の積分は、ちょっとできないと思うよ～（笑）。 それよりも、 f(t) = tでやってごらんよ。 （１） y' = dy/dx = y/x （α） （２） y' = dy/dx = x/y （β） で、f(t) = 1/tとすると、 （１） y' = dy/dx = x/y （α’） （２） y' = dy/dx = y/x （β’） f(t) = tのとき、 （１）は線形 （２）は非線形 f(t) = 1/tのとき、 （１）は非線形 （２）は線形 になっている！！ NO５のf(t) = t、f(t) = 1/tは適当にあげたわけではなかったのよ。 ちゃんと意味があったのよ。 （できたら、この微分方程式を解いてみて。タダの変数分離だから、簡単に解けるはず！！） つまり、f(t)によって、 （１）が線形になったり、非線形なったりするし、 （２）も線形になったり、非線形になったりするんだわさ。
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
後半については、 A No.1 の一行目に既に書かれているように、 f が何だか決めなくては、 線型だとか、非線型だとか、言いようがない。 (1)(2) が線型になる例： f(t) = 0 (定数関数). (1)(2) が線型にならない例： f(t) = e^t. 具体的な f 次第。
補足
ご回答ありがとうございます。 具体的なｆを与えなければ、線形・非線形が わからないことはわかりました。 >(1)(2) が線型になる例： f(t) = 0 (定数関数). >(1)(2) が線型にならない例： f(t) = e^t. と与えた場合、 （1）y'＝f(y/x) （2）y'＝f(x/y) はどのように書けるのですか？ お手数をお掛けしますがご回答よろしくお願い致します。
- NemurinekoNya
- ベストアンサー率50% (540/1073)
NO５に付け足し。 （1）y'＝f(y/x) y = txとする。 ただし、t= t(x) y' = t'x + t = f(t) t'x = f(t) - t t'/(f(t)-t) = 1/x ∫{1/(f(t)-t)}dt = ∫(1/x)dx + c （a） これを微分方程式（１）の解と呼べるとするならば、 （a）が（１）の解になります。 ☆（1）は線形で（2）は非線形だと認識していますが 正しいでしょうか？ ◇ t'x + t = f(t) t' +t/x = f(t)/x さて、これは、線形でしょうか、非線形でしょうか？ （２）y' = f(x/y) = f(1/(y/x))とおけば。。。
お礼
ご回答ありがとうございました。
- NemurinekoNya
- ベストアンサー率50% (540/1073)
f(x + y) = f(x)f(y)だけからは、fが指数関数というのは出てこないよ。 x＝y＝0とすると、 f(0) = f(0）^2 f(0)＝0、f(0)=1 だから、 f(x)=0 f(x)=1 も、 f(x + y) = f(x)f(y) を満たす。 f(xy) = f(x) + f(y)については、対数関数以外に f(x)=0 も、この関数方程式の解になる。 それに、 （1）y'＝f(y/x) （2）y'＝f(x/y) この微分方程式は、fが与えられないと、解けないって。 たとえば、 f(z) = z f(z) = 1/z みたいに。。。 （I） f(x+y) = f(x)f(y) と （II） y'= f(y/x) では、fの意味が違うんじゃないの。 （I）の場合は、fが未知数だし、 （II）の場合は、yが未知数なんだから。
お礼
ご回答ありがとうございます。 理解出来ました。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
(2) を非線形だと思った理由はわかったけど, (1) を線形とした理由はないのか.... ところで, 微分方程式 y' = 0 が (2) の形で書けるとは思いませんか?
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
関数等式を見て、そこから未知関数を決めようというのが、大間違い。 方程式を見てから未知数を決めたりは、しないものです。 例えば、2x+3y=1 の未知数は、x ですか？ y ですか？ 違いますね。先に未知数を決めてから式を立てるのでした。 未知数 x について 2x+3y=1 と立てたのなら、 未知数は x で、解は x = (1-3y)/2、 未知数 y について 2x+3y=1 と立てたのなら、 未知数は y で、解は y = (1-2x)/3 です。 関数等式も、先に未知関数を f と決めて f(xy) = f(x) + f(y) と立てるから、 解 f(x) = log(x) が求まるのです。 f(xy) = f(x) + f(y) を見てから どれが未知関数か決まる訳ではありません。 話の順番が、逆です。
補足
ご回答ありがとうございます。 ＞f(xy) = f(x) + f(y) と立てるから、 ＞解 f(x) = log(x) が求まるのです。 大きな間違いをしていました。 理解できました。 ありがとうございました。 微分方程式 （1）y'＝f(y/x) （2）y'＝f(x/y) についても教えて頂けないでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
ちょっとだけ気になるから。 対数を取るので、 ｘ、ｙの定義がいりますね？ 忘れちゃダメよ～。 ｌｏｇｘ これは未知関数かなぁ？ 底が１０ なら、未知ではないだろうけれど。 今は ａ だよね。とすれば、ａが定まっていないと、この関数は分からない関数、 極端な言い方をしたら、グラフかけないんじゃない？ といえるんじゃない？ ａ＾ｘ も同じ事で、 ａ が未知である以上、ｋ（ｘ）＝ａ＾ｘ は 未知関数としていいんじゃない？ 分かることと分からないことはきちんと分けておかないといけないと思うよ。 線形非線形は、Ｎｏ．１先生に譲る。σ(・・*)も聴きたい。 何故そう思うのかは聴かないと分からないかもね。 というより、解析の専門家さんに任せたほうがよさそう。 σ(・・*)代数だから。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
簡単な最後のところだけ: これだけではわかりません. 逆に聞いてみます. あなたはなぜ (1) が線形, (2) が非線形だと思ったのですか?
補足
ご回答ありがとうございます。 y'+（x/y）＝1 という微分方程式が非線形となっていたので、 それに習いました。 間違いでしょうか？
補足
ご回答ありがとうございます。 お礼がおそくなりすいません。 f(t) = e^tだから f(y/x) = e^(y/x) f(x/y) = e^(x/y) ということは理解できました。 f(t)=tの場合はどうなのでしょうか？ f(t) = e^tだから f(y/x) = (y/x) f(x/y)=（x/y） ということでしょうか？ f(t) = 0の場合は、 f(t)=0だから、 f(y/x) = 0 f(x/y)=0 ということでしょうか？ 微分方程式は解いてみたいと思います。 以上、ご回答よろしくお願い致します。