(logx)^2の原始関数をお教えください

質問

以下の原始関数を教えて下さい。自信がありません。

∫(logx)^2・dx

問題には、正確には｛log(e)x｝^2dx、と底がeとかいてありますが、
log(e)xはlogxと考えても大丈夫でしょうか？

回答No.5

info22 · ベストアンサー

正しい、原始関数は
x*(log(x)^2-2*log(x)+2)
です。

出し方は#4さんのやり方で出せますが、計算間違いされているようです。
#3,#4さんの積分結果（原始関数）とも正しくないですね。
微分してみると元の被積分関数に戻りません。

ここでは
log(e)xは自然対数で大学の数学では「ln x」と書いて区別することがあります。高校では対数の勉強では対数の底を10にしたり、微積分を扱う場合は対数の底をe(ネピア数またはネイピア数、自然対数の底)として扱います。これを単にlogと書いたりするので混乱します。混乱を避ける場合はlog(e)x と書きます。高校の微積分では(e)を省略して書かないことが多いです。はっきり区別したい場合は、log(e)x やlog(10)x とします。

お礼

お礼が遅くなりましてすみませんでした。
ありがとうございました。
log(e)の件についての違いも分かりやすくて参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.8

kup3kup3

◎　nを正の整数とするとき、公式
∫(logx)^n・dx=xΣ[k=0 n](-1)^k×(_nP_k)×(logx)^(n-k)＋Ｃ
となります。

ここに　_nP_kは[n個の異なるものの中からk個の異なるものを取り出す順列の数」です。

遥か昔昔に発見しました。部分積分を繰り替えすだけです。
n=2として、
∫(logx)^n・dx=x×_2Ｐ_0(logx)^2－x×(_2Ｐ_1)(logx)^1
+x×(_2Ｐ_2)(logx)^0＋Ｃ
=x×1×(logx)^2－2×(logx)＋x×2×1＋Ｃ
=x(logx)^2－2(logx)＋2x＋Ｃ

なお、数学、特に数３以上、大学ではlog(e)xをlogxとかいてしまう。
計算機などでは
常用対数「log_10(x)」をlogx、なお、自然対数log(e)xを
lnxと書きます。

お礼

お礼が遅くなりましてすみませんでした。
ありがとうございました。
すごい公式ですね。

回答No.7

noname#66248

失礼！
∴∫t^2・e^t・dt=t^2・e^t-2・(t-1)・e^t=(t^2-2t+2)・e^t
変数を元に戻して
∫(logx)^2・dx=[{log(e)x}^2-2・log(e)x+2]・x
とすべきでした。

お礼

No.4でも回答していただきありがとうございました。

回答No.6

nettiw

入れ子状の部分積分です。

∫dx[logx]
=x・logx -∫dx[x・(1/x)]
=x・logx - x・・・Ａ

∫dx[(logx)^2]
=x・(logx)^2-∫dx[x・(2/x)(logx)]
=x・(logx)^2 - 2∫dx[logx]・・・Ａを代入して、
=x・(logx)^2 - 2x・logx+2x
=x[(logx)^2 - 2logx+2]

>> log(e)xはlogxと考えても・・・
常用対数と区別するのに、親切にeをつけてあります。
微積では、（底を書いてないときは）自然対数です。

お礼

お礼が遅くなりましてすみませんでした。
ありがとうございました。
分かりやすく教えていただき感謝してます。

回答No.4

noname#66248

log(e)x=t と置くと x=e^t, そして dx=e^t・dt
以下、log(e)x を logx　と書きます。

∫(logx)^2・dx=∫t^2・e^t・dt=t^2・e^t-2∫t・e^t・dt

∫t・e^t・dt=t・e^t-∫e^t・dt=(t-1)・e^t
∴∫t^2・e^t・dt=t^2・e^t-2・(t-1)・e^t=(t^2-2t+1)・e^t
変数を元に戻して
∫(logx)^2・dx=[{log(e)x}^2-2・log(e)x+1]・x

なお、log(10)x=t と置くと、t=log(e)x/log(e)10 なので
log(e)10=a と書くと、dx=a・e^(at)・dt となり、当然答えは異なります。

お礼

お礼が遅くなりましてすみませんでした。
ありがとうございました。とても分かりやすい解き方を教えていただき感謝してます。

回答No.3

mamoru1220

因みに積分すれば x^2 * (logx)^2 - 2xlogx + 2x です。

お礼

No.1とこちらと、ご回答いただきありがとうございました。
お礼が遅くなりましてすみませんでした。
ありがとうございました。

回答No.2

stmasa

一般的にlog(e)xの底eは省略されることが多いのでlog(e)xはlogxでいいと思います

お礼

お礼が遅くなりましてすみませんでした。
やはりこの場合のlog（e）xはlogxでいいのですね。
ありがとうございました。

回答No.1

mamoru1220

底がeの場合を特に自然対数と言うので、省略可能です。（というか一般的には書きません）

∫1*(logx)^2 dx として部分積分をしてみてください。