どうしてもわかりません

質問

以前、同じ質問をし、回答をもらったのですが、理解できないところがありました。補足質問をしましたが返事は来ず、丁寧に教えていただきたかったので、また書かせていただきました。
関数f(x)=(x^2)logx(x＞0)を考える。
(1)y=f(x)の増減と凹凸を調べ、グラフをかけ。lim(x→+0)x^2logx=0を用いてよい。
この場合の増減表の書き方なんですが、２次導関数まで調べて、変曲点を出すことができました。グラフをかくにあたって、できるだけ細かい範囲で求めたほうがわかりやすいと思うのですが、増減表の範囲は、どこからどこまで書けばいいのでしょうか？
また、増減や値がはっきりとわからない時は、空欄にしてもいいのでしょうか？
lim(x→+0)x^2logx=0より、０は定義されないのはわかるんですが、グラフをかくときに、どのように説明すればいいのでしょうか？
増減表のかきかたを、わかりやすく教えて下さい。お願いします！

回答No.2

proto · ベストアンサー

もしかして、できるだけ細かい範囲でってのは
0から1まで、1から2まで、2から3まで、、と区切るか
0から0.1まで、0.1から0.2まで、0.2から0.3までと区切るか
どっちがいいでしょうか？
って聞いてるわけですか？

えっと、増減表は基本的に1次導関数の正負と2次導関数の正負で区切って表をつくりますよね。
増減表ってのは例えばf'(x)が1だろうと10だろうと、別に区別して考えません、グラフの傾きが1だろうと10だろうと増加してるって部分では同じだからです。
ですがf'(x)が1と-1では違ってきます、1ならば増加してるし-1ならば減少していてグラフの形が変わってくるからです。
ようは大事なのは符号が+か-かってことなので、だからこそ増減表はf'(x)=0となるxや、f''(x)=0となるxで区切ります。
それ以上はいくら細かく区切っても符号が同じだから変わりません、紙面の無駄です。

今回の場合だと
f'(x)=0を解いて√e、f''(x)=0を解いて1/√(e^3)ですから
区切りは
0～1/√(e^3)、1/√(e^3)～√e、√e～∞
です。
これ以上細かく切ってもf'(x)やf''(x)の正負が入れ替わるポイントはありませんから、これで十分です。

あとは
f'(x)>0 : 増加
f'(x)<0 : 減少
f''(x)>0 : 下に凸
f''(x)<0 : 上に凸
という条件から、グラフのだいたいの形を考えます。
例えば0～1/√(e^3)の範囲ではf'(x)<0,f''(x)<0ですから
上に凸で減少しています。
残りの範囲でもf'(x)とf''(x)の符号の組み合わせからグラフのだいたいの形を考えます。

それが終わったらいよいよグラフを描き始めます。
とりあえずx=0のときx=1/√(e^3)のときx=√eのときのグラフが通る点をプロットしましょう。
そうしたらあとはプロットした点を先ほど増減表で求めたグラフの形に従ってだいたいの滑らかな線で結ぶだけです。
例えばx=0のときf(x)=0、x=1/√(e^3)のときf(x)=-3/2e^3ですから、
(0,0)と(1/√(e^3),-3/2e^3)を上に凸で右下がりの曲線でなんとなく結べばいいだけです。
人の手で描く物ですから、だいたいイメージがつかめれば正確さはそこそこでいいのです。
通る点、増減、凹凸を間違えていなければ、そうとう雑に描かない限り減点はされないでしょう。
残りの部分もだいたいで滑らかにつないでいきます。

x=0で定義されない話ですが、x=0では定義だれませんが0にギリギリ近いところまでは定義されるので、実際グラフはx=0まで描けます。
x=0ではt=0を通るようなグラフになり、x<0ではグラフは描けません。
それだけです、グラフを描くにあたって重大な問題があるわけでは無いので、(0,0)を通るってことで納得して気楽に描きましょう。

質問を読んでいると、考えすぎ力みすぎて頭でっかちになっているような印象を受けるので、とりあえず教科書でもみながら増減表とグラフを描いてみてください。
途中わからない部分があっても、とりあえずわかる範囲で描いてください。
で、描いたそのグラフをみながらもう一度考えれば、間違いに気づいたりやり方に納得できたりするはずです。
とりあえず気楽にやってみてください。

お礼

回答ありがとうございました。
質問が少し説明不足でした。ごめんなさい。
あまり考えすぎないようにやってみます。
詳しい説明ありがとうございました！

回答No.4

info22

増減表は#1さんので大筋いいですが、
f(x)=0のx=1
ｘの範囲として1以上の所に以下の範囲を追加した方がいいでしょうね。
1 …… +∞
　＋　+∞　　　←補う
　＋　+∞　　　←補う
0　凹↑+∞　　　←補う

回答No.3

joggingman

#1ですが、(1,0)より先は、(e,e^2)を通る右上がりの
下に凸の曲線を描けばいいです。

ｘ　０　・・・・・・　1/(e√e)・・・・・・・・1/√e・・・・・・１・・・e・・・
f'' －　　－　　－　　　０　　　＋　　　　　　＋　　　　＋
f'　０　　－　　　　　　－　　　－　　　　　　　０　　　＋　
ｆ　０　　　↓凸　　変曲点=-3/(2e^3)↓凹　極小=-1/(2e)　↑凹　０　↑　e^2

回答No.1

joggingman

こんばんわ
f'(x)=(2x)logx +x^2(1/x)=x(1+2logx)　：x=e^(-1/2)=1/√eでf'=0
f''(x)=(1+2logx)+x(2/x)=3+2logx　：x=e^(-3/2)=1/(e√e)でf''=0

ｘ　０　・・・・・・　1/(e√e)・・・・・・・・1/√e・・・・・・１
f'' －　　－　　－　　　０　　　＋　　　　　　＋　　　　＋
f'　０　　－　　　　　　－　　　－　　　　　　　０　　　＋　
ｆ　０　　　↓凸　　変曲点=-3/(2e^3)↓凹　極小=-1/(2e)　↑凹　０　↑

こういう感じでしょうか。
原点は含まないという意味で、○にしておけばよいでしょう。
図の実線（原点は含まない）と注記しておく。

お礼

ありがとうございます。
丁寧で、とてもわかりやすかったです。
1/(e√e)や1/√eのときの増減がいまいちわからなかったので、このようにわかりやすく教えていただいて、理解することができました。
ｘは、０～１の範囲で増減表を書けばいいのですね(^ー^)
本当に助かりました。ありがとうございました。