逆関数・合成関数

質問

逆関数、合成関数の観点から次の式を説明せよ。
(1) log e^x=x
(2) e^(logx)=x

やってみました。
(2) y=a^x(-∞<x<∞)とする。
　　xについて解くとx=loga y (y>0)
ここでx,yをいれかえるとy=loga x(x>0)
つまり、y=a^x(a>0,a≠1)とy=loga x(a>0,a≠1)は
　　互いに逆関数の関係にある。
　　よって、a^(logy)=y(y>0)
a=eのとき、e^(logy)=y
yにｘを代入してe^(logx)=x

こんなんでどうでしょうか？？？それと(1)はどうすれば良いのでしょう？

回答No.1

sakura_214 · ベストアンサー

関数f(x)の逆関数をf^(-1)(x)と書くことにします．

ある関数とその逆関数の合成関数は，定義からxになります．すなわちこれを式で書くと
f(f^(-1)(x))=x
または，fとf^(-1)を入れ替えて
f^(-1)(f(x))=x
と表すことができます．

eを指数にした指数関数e^xの逆関数は，eを底にした対数関数lox_{e}(x)です．
（eを底にした対数関数lox_{e}(x)の逆関数は，eを指数にした指数関数e^xです．）
よって，この２つの関数の合成関数
対数関数（指数関数(x)）→ log_{e}(e^x)
と順番を入れ替えた
指数関数（対数関数(x)）→ e^(log_{e}(x))
はともにxになるとわかります．

お礼

ありがとうございました。とてもよくわかる回答でした。

回答No.3

Caper

ANo.#2 の回答をもう少し丁寧にしてみました。

(1) y = e^x　 … (i)
　　とおくとき, 自然対数関数の定義より,
　　x = log y … (ii)
　　が成り立つ. ゆえに, (ii) の右辺の y へ (i) の右辺を代入すれば, x = log (e^x) が成り立つ.

(2) z = log x … (iii)
　　とおくとき, 自然対数関数の定義より,
　　x = e^z　 … (iv)
　　が成り立つ. ゆえに, (iv) の右辺の z へ (iii) の右辺を代入すれば, x = e^(log x) が成り立つ.

お礼

ありがとうございました。逆関数・合成関数の観点から、という点がポイントだと思うのですが、そのあたりはどうでしょう・・・。

回答No.2

Caper

私が naganotti さん でしたら、答案用紙にこう記します。

(1) y = e^x とおくと, x = log y = log (e^x).
(2) y = log x とおくと, x = e^y = e^(log x).

(1) (2) とも、右辺の x から左辺を導き出してみました。