複素数ｚを角θだけ回転した点

質問

複素数ｚ、角θが次の場合に、点ｚを原点の周りにθだけ回転した点を表す複素数を求めよ。
　z=1+3i,θ=π/3

答えは (1-3√3)/2+(3+√3)i/2
と書かれているだけでなぜそうなったのかが解りません。

一応自分で考えた解き方は、

複素数平面上[原点をo]にx軸を底辺[頂点をa]、zの示す(1,3)を斜辺[頂点をb]とする直角三角形oabとそれをπ/3だけ原点のまわりに回転させた図形oa'b'を書き、b'(x,y)としたとき、∠a'oa=π/3であることから、xとyについての連立方程式を立ててそれを解く。

というものなのですが、
もっと簡単かつスマートな解き方があるといわれたために、
数学的な問題について知識をお持ちである、または以前にこのような問題を解いたことがあるという方、数学を学び始めたばかりの自分にも理解できるような解説をしていただけませんか。

回答No.1

noname#29127 · ベストアンサー

オイラーの公式 (θでの回転)：cosθ + isinθ

z * (cosθ + isinθ)でzを角度θで回転できます。

z * (cosθ + isinθ)
=(1 + 3i){cos(π/3) + isin(π/3)}
=(1 + 3i){1/2 + i(√3/2)}
あとはこれを普通にかけ算して計算して回答が得られます。

お礼

回答ありがとうございます。
オイラーの公式は習っていなかったのですが、回答を見てよく理解することができました。

回答No.2

noname#74310

z*Exp(iθ)=z*(cosθ+isinθ)=(1+3i)*(cos(π/3)
+isin(π/3))でないの

お礼

回答ありがとうございます。
この解き方もオイラーの公式というものに準じていると考えていいのですね。

お二方とも早急な回答ありがとうございました。