複素数について

質問

中学の数学クラブで複素数について調べていますが、よく理解できません。

下記の図のように Z＝x ＋ i y で表す意味が分かりません。

もともと虚数の i を なぜ　yで掛けているのかが・・・
虚数って　i × i ＝　-1　ですよね。　なぜ　ここで虚数が関係しているのかが分かりません。

そして　なぜこれが Z＝x ＋ i y が等しくなるのかが分かりません。

手間をおかけしますが、教えてくださいよろしくお願いします。

回答No.8

noname#221368 · ベストアンサー

中学ですか。実数や方程式って言葉は使っていいのかな？。・・・数学クラブなので、大丈夫と信じます(^^)。

　※実数：　有理数（分数）なんかを全部含んだ、ふつうの数の総称．

　最初に複素数の動機付けなんですが、高校に入るとすぐに、2次方程式を習います。

　　　x^2－4x＋20＝0　　（x^2は、xの2乗の意味です）　　(1)

のような方程式です。(1)には解の公式があります。解の公式とは、1次方程式　ax－b＝0では　x＝b/aとなり、答えを直接計算できる具体的な式の事です。(1)に対する、x＝b/aのような式を使うと、(1)の解は、

　　x＝2±√(2^2－20)＝2±√(4－20)＝2±√(－16)　　（√は、続く()の最後までかかる）　　　(2)

と決まります。ところが2乗して－16になるような実数がないのは、知ってますよね？（プラス×プラス＝プラス，マイナス×マイナス＝プラスで、負にならないから）。

　よって(2)の計算は無意味で、(1)は「解無し」が答えになります（普通の考えでは）。ところが「形式的に」、

　　x＝2±√(－16)＝2±√(16×(－1))＝2±√(4^2×(－1))＝2±√(4^2)×√(－1)＝2±4√(－1)＝2±4 i 　　(3)

を一種の解だと認めると、とても便利な事が後にわかります。どう便利かは、#2さんの仰るように、

＞大学まで行かないとわからないかもしれません。

が、一つ言えるのは、どんな場合にも首尾一貫して同じ公式を使って、答えを書けるという事です。「首尾一貫した明解な表現を得る」事は、じつは数学においてとても重要な事なんです。そのような表現（書き方）を得た後には、複素数導入以前には見えなかった、沢山の重要な定理が解明されて行きます。時には複素数が表す何かに、現実世界との対応を付けられる場合すらあります。

　複素数の最初の動機は、どんな方程式も解けるようにする、という事だったので、実数とともに四則演算（＋，－，×，／）できるものとして導入されます。だから Z＝x ＋ i y という形をしています。

　ところで虚数単位 i は、実数で表せるでしょうか？。 i を実数で表せるなら、ある実数を引いて0にできるはずです。つまり、

　　 i －x＝0　　　(4)

が実数の解xを持つはずです。虚数（複素数）は、実数とともに四則演算できるものなので、x＝ i が答えになりますが、 i は、

＞　i × i ＝　-1　　　　　　　(5)

を満たすものなので、xは実数ではあり得ません。もし i を実数で表せるなら、Z＝x ＋ i y の i y を、実数wに置き換え、

　　Z＝x ＋ i y＝x ＋ w　　　(6)

と、「一つの実数(x ＋ w)」でＺは決まりますが、(6)は不可能であるが結論です。そうすると一つの複素数Ｚを決めるためには、どうしても2つの実数　x　と　y　を与え、Z＝x ＋ i y　と書く必要に迫られます。 i は、(5)を満たす「固定された一つの数」です。

　しかし複素数はやはり、どこか得体が知れなくて、具体的に想像しにくいものでした。複素数が導入されてすぐに、次の極形式が見つかります。

　　Z＝Ｒ(cosθ ＋ i sinθ）　(7)

　Z＝x ＋ i y では、2つの実数xとyでＺを決めますが、(7)では、2つの実数ＲとθでＺを与え、x＝Ｒcosθかつy＝Ｒsinθであるのは、もちろんです。そしてcosθとsinθは三角関数で、高校に入ったらけっこうすぐ習い、とても便利な関数なのもすぐわかります。何故なら、座標(cosθ，sinθ)は、半径1の円周上の点を表すからです（添付図）。

　三角関数がとても便利なのは、cosθやsinθを見た瞬間に、円を考えて図形で考えればいいからです。目に見えるグラフを持つからです。1次関数y＝3x＋2だって同じですよね？。数式y＝3x＋2に対して直線をさっと引けば、何をしたいのか？、どういう意味なのかが、一目瞭然にわかります。

　数式をグラフにする事（幾何学化する事）も、数学においてはとても重要な事です。図形化すると、わかりやすい見通しが得られるからです。

　複素平面は、複素数を図形化する「手段」です。添付図の(Ｒcosθ，Ｒsinθ)の点を、「x ＋ i y　と呼んで良い」と「決めた」んです。

　※複素平面のy軸は通常、 i y　と書かれます。(7)に納得できれば、その理由は明らかですよね？。なので添付図では、（複素平面）にしています。またθ＝90°，Ｒ＝1にすれば、#1さんの応答と同じです。

　以上の説明に納得してもらえればですが、それでも、ずいぶん人間のご都合主義じゃないか？と、思ったかも知れません。数学の多くの結果に、あたかも大自然を探検して発見したかのような、自然さや美しさがあるのは事実です。それは否定できません。しかし数学は、「そればっかりで動いてる」わけでもないんです。数学は、「人間が意志をもって作り上げた」構築物でもあるからです。今回の例のように、「あえてそう考えた」人間の意志を数学理論に感じ、そこに感心したり感動したりする時は、いずれやって来ると思います・・・(^^)。

お礼

親切に解説していただき、ありがとうございました。お礼を入力するのが、大変遅くなりました。みなさんのおかげて、徐々にわかってきました。結局、基礎知識が足りなかったことに気づきました。感謝いたします。

こんなにたくさんかいていただいて、言葉では表現できませんがありがとうございます。

回答No.11

windwald

まず、iは虚数ではなく、虚数単位です。
虚数にはi,2i,-5iなどのように、実数×虚数単位の形で表される純虚数と言うものがありますが、
虚数には1+i,-3+4i,7-6iなどのように、実数＋純虚数となる形のものもあります。

そうすると、たとえば5という実数は5+0iともかけることが分かります。
そこで、虚数と実数を合わせて複素数と呼びます。
2つの実数x,yを用いると、全ての複素数はx+iyと表せます。
ですから、ある複素数zは2つの実数x,yを使うと、x+iyの形で表せます。

z=x+iy　というのは、zとx+iyが等しくなるのを表したわけではなく、
複素数zの別表記を示しただけと捉えた方がよいですね。

お礼

親切に解説していただき、ありがとうございました。お礼を入力するのが、大変遅くなりました。みなさんのおかげて、徐々にわかってきました。結局、基礎知識が足りなかったことに気づきました。感謝いたします。

回答No.10

noname#171582

私の好きなオイラーの公式

exp（πi）＝cos（π）＋isin（π）
も複素数の話しだし。

eとπを結びつける不思議な公式。

お礼

親切に解説していただき、ありがとうございました。お礼を入力するのが、大変遅くなりました。みなさんのおかげて、徐々にわかってきました。結局、基礎知識が足りなかったことに気づきました。感謝いたします。

それにしても難しそうな式ですね。僕はまだまだてす。

回答No.9

alice_44

No.3+6 さんに全面賛成。
実数に i を添加して複素数になる…というのは、単なる言い回しの遊びであって、
複素数を新たに定義してみると、その中に実数が見つかる…と言うほうが正当です。
拡大体って、そういうもんです。
No.4 にだけ少し異論があって、No.3 のルール下に
(x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) となることから、(なんたら,0) を実数とみなし、
i = (0,1) と命名すると、x+yi が現れる…とすればよいと思います。
x と yi を加える + も、y と i を掛ける × も、(x,y) と (x',y') の +,×
なので、x+yi そのものを言語糖と考える必要はなさそうです。

お礼

親切に解説していただき、ありがとうございました。お礼を入力するのが、大変遅くなりました。みなさんのおかげて、徐々にわかってきました。結局、基礎知識が足りなかったことに気づきました。感謝いたします。

回答No.7

zeta0208

少し長くなりますが、改めて小学校から習った数字を順に方程式を使って表すと

小学校
　□＋１＝５　の時　□＝４　⇒自然数
　□＋１＝１　の時　□＝０　⇒ＺＥＲＯ
　□×３＝１　の時　□＝１／３　⇒分数
中学校
　□＋１＝０　の時　□＝－１ ⇒負の数（ここで整数、有理数を習う）
　□^2＝２　の時　□＝±√２ ⇒無理数
高校、大学
　□^2＋□＋１＝０　の時　□＝－１／２±ｉ√３／２　⇒複素数
　　※中学校では実数の範囲を習うので『実数解なし』とするかもしれませんが、
　　　複素数まで解の範囲を拡げると解は存在します。
　　　中学では難しいかもしれませんが実際に□に代入してみると０になります。

　この複素数というものが次に出てくる新たな数字です。
　つまり　ｚ＝ｘ＋ｉｙ　の形をしています。（ｘ、ｙは実数、ｉは虚数単位√－１）

この複素数は数直線上でその位置を表すことができません。
そこで複素平面（ガウス平面とも言いますが）という実軸（横）、虚軸（縦）で表した
新しい二次元の座標でその位置を表します。
応用範囲が広すぎて詳しくは述べきれませんが一つは複素数というのは回転という動きと
密接な関係があります。
ちょっと面倒くさいかもしれませんが
(1+i)^1
(1+i)^2
(1+i)^3
(1+i)^4
(1+i)^5
(1+i)^6
(1+i)^7
(1+i)^8
(1+i)^9
(1+i)^10
を実際に計算してその結果を複素平面にプロットしてみると何となくイメージできると思います。

お礼

親切に解説していただき、ありがとうございました。お礼を入力するのが、大変遅くなりました。みなさんのおかげて、徐々にわかってきました。結局、基礎知識が足りなかったことに気づきました。感謝いたします。

回答No.6

Caper

質問者の DODOOffs さん に媚びるつもりは、私には毛頭ありません。そう前置きした上で、この質問はよい質問であると、私は考えます。実数間においてのみ定義された 二項演算 ＋ と × がなぜいきなり虚数単位にまで及ぶことが許されるのかという疑問は、決してくだらないものではないと、私は考えます。

お礼

親切に解説していただき、ありがとうございました。お礼を入力するのが、大変遅くなりました。みなさんのおかげて、徐々にわかってきました。結局、基礎知識が足りなかったことに気づきました。感謝いたします。

回答No.5

noname#171582

なるほど。
中学の数学クラブですか。

それは、難しいね。
それにしては、添付画像はシャキットしたのを
出してますね。

私も時々やるのですが画像が悪くてね。

そこで、本論ですが。
何故と言うことはありません。

定義です。そういう約束事です。
そうすると矛盾なく構築できるのです。

１＋２＝３
とやると思います。
あなたの質問は何故”＋”なのか？と言ってるにすぎません。

1個のリンゴに2個のリンゴを”足す”と3個のリンゴになる。
それと同じです。そのように定義したのです。

そのように約束したのです。

定義についての質問ほどくだらないものはありません。
中学生と言うことで仕方のないことではありますが。

お礼

親切に解説していただき、ありがとうございました。お礼を入力するのが、大変遅くなりました。みなさんのおかげて、徐々にわかってきました。結局、基礎知識が足りなかったことに気づきました。感謝いたします。

回答No.4

Caper

● 追記です。

● 複素数を ANo. 3 のとおりに定義したとします。そのように定義すれば、もちろん、任意の 1つ の複素数は 実数の対 (x, y) として表記されることになります。

　 そのことを頭にしっかり入れた上で、(x, y) から ( , ) を消します。残るは x y の 2文字 だけです。この 2文字 の間に + i を挿入します。その結果、x + i y となります。

　 ( , ) が本来の記号であって、それを + i という記号におきかえただけととらえてみてはいかがでしょうか。+ i には、加法だの虚数だのという意味はなく、単なる記号ととらえてみてはいかがでしょうかということです。

お礼

親切に解説していただき、ありがとうございました。お礼を入力するのが、大変遅くなりました。みなさんのおかげて、徐々にわかってきました。結局、基礎知識が足りなかったことに気づきました。感謝いたします。

回答No.3

Caper

● 複素数 x + iy については、次のとおりの別の表記のしかたがあります。

　 1つ の複素数を、実数の対 (x, y) として表記します。そして、2つ の複素数の和と積を、次のとおりに定義します。

　 (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')
　 (x, y)(x', y') = (x x' - y y', x y' + x' y)

　 なお、任意の 実数 a は (a, 0) と表記されることになります。

● 参考図書
　 一松 信 著「 函数論入門 」( 培風館 1957年 01月 25日 初版 )

お礼

親切に解説していただき、ありがとうございました。お礼を入力するのが、大変遅くなりました。みなさんのおかげて、徐々にわかってきました。結局、基礎知識が足りなかったことに気づきました。感謝いたします。

回答No.2

hitokotonusi

二つの実数x,yと虚数単位を組み合わせて

x + i y

としたものが複素数という数の定義なんですよ。

なぜ？とか意味、ではなくてこのように定義する、です。

こう定義するとどう便利なのかは、大学まで行かないとわからないかもしれません。

お礼

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回答No.1

fjnobu

i　はｘ軸と９０度ずれた方向で、ｙはその大きさと考えます。
ｚ　はベクトルの方向と大きさを意味しているのです。
ピタゴラスの法則で　ｚ＾２＝ｘ＾２＋ｙ＾２　となっています。
そして、
＞Z＝x ＋ i y
この　Ｚ　は、文字の上に→　又は　横線が掛れていると思います。
この記号が、方向と大きさを持っているという意味を持っています。

お礼

親切に解説していただき、ありがとうございました。お礼を入力するのが、大変遅くなりました。みなさんのおかげて、徐々にわかってきました。結局、基礎知識が足りなかったことに気づきました。感謝いたします。