内積の三角形の面積

質問

高校数学です。
ベクトルで三角形の面積の公式がありますが、２種類あり、その違いを知りたいです。

(1)
△OABにおいて、OAベクトル＝aベクトル、OBベクトル＝bベクトルとおくと、
（△OABの面積）＝１/２√{|aベクトル|^2|bベクトル|^2-(aベクトル・bベクトル)^2}

(2)
原点OとA（x１、y１）、B（x２、y２）を頂点とするとき、
（△OABの面積）＝１/２|x１y２－x２y１|

回答よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

＞２種類あり、その違いを知りたいです。

書いてある通り、(1)はベクトルの長さと内積で求める方法、(2)はベクトルの各成分で求める方法です。

(1)で、OAベクトルとOBベクトルがなす角をθとすると、次の式も面積の公式です。
（△OABの面積）＝１/２|aベクトル||bベクトル||sinθ|

aベクトル・bベクトル＝|aベクトル||bベクトル|cosθ　でもあるので、
１/２√{|aベクトル|^2|bベクトル|^2-(aベクトル・bベクトル)^2}
＝１/２√{|aベクトル|^2|bベクトル|^2-(|aベクトル||bベクトル|cosθ)^2}
＝１/２|aベクトル||bベクトル|√{1-(cosθ)^2}
＝１/２|aベクトル||bベクトル||sinθ|
となるので、上記の公式と同じになります。

A（x１、y１）、B（x２、y２）で(1)の公式を適用すると、
１/２√{|aベクトル|^2|bベクトル|^2-(aベクトル・bベクトル)^2}
＝１/２√{(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)-(x1x2+y1y2)^2}
＝１/２√{x1^2y2^2+x2^2y1^2-2x1x2+y1y2}
＝１/２√{(x1y2-x2y1)^2}
＝１/２|x１y２－x２y１|
となって、(2)の公式になります。

お礼

回答ありがとうございました。
証明まで詳しくしてくださり、大変わかりやすかったです。
ありがとうございます！