複素数平面

質問

(1)
ｚ　１
―＋―が実数であるようなｚの表す図形を図示。
２　ｚ
(2)
さらにｚ≠ｚ~をも満たす点Ａ(z)に対しABCDが正方形であるときＢ(3i),Ｃ(w),Ｄ(u)としてwの絶対値のとりうる範囲を求める。~はバーのつもりです。

(1)ですがｚ=x+yiとおくと
(z/2)+(1/z)={x(x^2+y^2)+2x+y(x^2+y^2-2)i}/2(x^2+y^2)
実数条件は虚部=0だから
y(x^2+y^2-2)=0⇔y=0 or x^2+y^2=2
またx^2+y^2≠0⇔x≠±yi
点（1、±1),(-1、±1)を除いた原点中心、半径√2の円、ｘ軸
でよいですか？

(2)での「ｚ≠ｚ~をも満たす点Ａ(z)」は(1)のx軸も除いた図かな？
Ｃ(w)はＢを中心としてＡを＋90° or -90°回転させた位置にあるから、
(z-3i)/(w-3i)=i or (z-3i)/(w-3i)=-i
|z|=√2を使うのですよね。どうやって使うのですか？
|w＋3|=√7i,|w＋3|=√7iになっちゃいました。どうして絶対値で虚数が入ってしまうのだろう。

回答No.7

eatern27 · ベストアンサー

(1)なんですが、

原点を除かなければいけません。

分母にzがあるから、z≠0ですので。

他の方の回答を少し見た感じでは書いてなかったので、一応、書いておきました。

(2)

(z-3i)/(w-3i)=i or (z-3i)/(w-3i)=-i
z=wi+3+3i or z=-wi-3+3i
これを|z|=√2に代入すると
|wi+3+3i|=√2 or |wi-3+3i|=√2
|i||w-3i+3|=√2 or |i||w+3i+3|=√2
|w-3i+3|=√2 or |w+3i+3|=√2

また、ｚ≠ｚ~より、
z=wi+3+3i の時、wi+3+3i≠-w~i+3-3iからRe(w)≠-3
z=-wi-3+3iの時、-wi-3+3i≠w~i-3-3iからRe(w)≠3

よって、wは-3+3iを中心とする半径√2の円、あるいは、-3-3iを中心とする半径√2の円となります。(実部が±3の部分は除く)

wを図示してここから最大値、最小値を求めると
最小値が2√2。最大値が4√2
になるのですが、

a_no_name_orphanさんと違う答えになってしまいました。
私が計算間違いをしている可能性は十分にありますが、#3に
＞ｚを中心にβを－90度回転させたものをw1、＋90度回転させたものをw2とすれば

とありますが、ｚを中心にβを90度回転させたものは点Ｄ(u)になる気がします。

お礼

どうもありがとうございました。
私の答えもそのようになりました。
補足の方に書いた「（±√2、０）を除く」は完璧な勘違いでした。
確かに原点除くですねどうもありがとうございました。。

回答No.8

noname#24477

＃２で私も少し間違えたかと思います。訂正しておきます。

右半分を考えるとき、遠いほうは　(z-3i)/(w-3i)=-i
ですね。あまり半分にして考えるメリットはなかったかな
と思っています。

＃７のeatern27さんの解答はスマートですね。

お礼

どうもありがとうございました。参考にさせていただきます。

回答No.6

a_no_name_orphan

そしたら今度は別のところが間違ってる・・・。これも答えに影響はありません。今日は厄日。ほんっとごめんなさい。

【解法１】w1＝(1+i)z+3
|w1|^2＝(3+2cos)^2＋4sin^2
　　　＝4+9＋12cos(α+45)
　これはα＝135度のとき１（最小）　α＝315度のとき２５、すなわち|w1|=5（最大）を取る。

　あーーーーー、マジごめんなさい。

回答No.5

a_no_name_orphan

？！プラスで合ってんじゃん！
　たびたびすみません。。。

回答No.4

a_no_name_orphan

No.3のものです。ミスが発覚。答えには影響ありません。

６行目：w1＝z－(β－ｚ)ｉ＝(1+i)z+3

　のところ、正しくは　w1＝z－(β－ｚ)ｉ＝(1+i)z－３
でした。すみませんでした。

回答No.3

a_no_name_orphan

別解を紹介します。

（１）z/2+1/z~が実数⇔z/2+1/z~＝(z/2+1/z~)~
　通分して整理すれば　(z-z~)(|z|^2－２)＝０　が得られる。

（２）Ｂ（β）とし、ｚ＝√2(cosα＋isinα）と置く。ｚを中心にβを－90度回転させたものをw1、＋90度回転させたものをw2とすれば
w1＝z－(β－ｚ)ｉ＝(1+i)z+3＝2{cos(α+45)+isin(α+45)}＋3

【解法１】|w1|^2＝4cos^2＋4sin^2+9-12sin(α+45)＝13－12sin(α+45)　これはα＝45度のとき１（最小）でα＝225度のとき２５すなわち|w1|＝５（最大）
　同様にw2も整理して２乗すれば、１（最小）と５（最大）が得られる。

【解法２】|w1|＝|2{cos(α+45)+isin(α+45)}＋3|
　三角不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|　において、
　ａ＝3、ｂ＝2{cos(α+45)+isin(α+45)}とすれば、
|a|-|b|＝１≦|a+b|≦|a|+|b|＝５　となる。

　【解法２】を思いつくのはちょっと難しいかも知れない。【解法１】ができれば十分だと思う。三角不等式は実数でもベクトルでも複素数でも使えるので便利！！

お礼

どうもありがとうございます。
成分表示をしない解法も試みてみました。
三角不等式はちょっと違うみたいですね。
いきなり回答がいっぱい立っててびっくりしました。（笑）

回答No.2

noname#24477

>(±√2、0)を除くわけですね？

(1)では除く必要は無いでしょう。
(2)では除くことになります。

ところで（２）は
ｚ＝x+yi（ただしx^2+y^2=2）としてｗを表してみたら
どうですか。

円が左右対称であることを考えれば
右半分で考えると、ｗまでの距離が遠くなるのは
(z-3i)/(w-3i)=i 　のときですね。
これからｗ＝（ｚの式）＝（ｘとｙの式）に直します。
それから絶対値計算をすればいいでしょう。

そのままでもいいですが　ｘ＝√２cosθ，ｙ＝√２sinθ
と直してやれば
最後は三角の合成でいけます。

左半分では(z-3i)/(w-3i)=-i でやればいいと思いますが
距離を考えるだけなので同じことですね。
答はθ＝－π/4　と－３π/4　のときではないかと思いますがどうでしょう。

回答No.1

hinebot

(x+yi)/2 + 1/(x+yi)
=(x+yi)^2/2(x+yi) +2/2(x+yi)
={(x^2+2xyi-y^2)+2}/2(x+yi)
=(x^2+2xyi-y^2+2)(x-yi)/2(x+yi)(x-yi)
=(x^3+2x^2yi-xy^2+2x-x^2yi+2xy^2+y^3i-2yi)/2(x^2+y^2)
={x(x^2+y^2)+2x+y(x^2+y^2-2)i}/2(x^2+y^2)

計算は大丈夫のようですね。

さて、
>またx^2+y^2≠0⇔x≠±yi
この部分ですが、z=x+yi とおいた時点で、x,yは実数という条件がついているはずですね。
なので、x^2+y^2=0 となるのは、x=y=0 のときのみです。
従って、「点（1、±1),(-1、±1)を除いた」という条件は不要です。

(2)は後ほど、締め切られてなければ。

補足

＞この部分ですが、z=x+yi とおいた時点で、という条件がついているはずですね。
＞なので、x^2+y^2=0 となるのは、x=y=0 のときのみです。
＞従って、「点（1、±1),(-1、±1)を除いた」という条件は不要です。
ああ、なるほど。「x,yは実数という条件」を忘れてました。（わかってなかった）
じゃあ、(±√2、0)を除くわけですね？