複素数平面

質問

α、βをα^2+αβ＋β^2＝0を満たす０でない異なる複素数と定義して
（１）β／αを求める。
（２）原点Ｏ、Ａ(α)、Ｂ(β)を頂点とする3角形の3つの角度は？
（３）Ａ(α)、Ｂ(β)、Ｃ(β^2／α)が表す点を頂点とする3角形の3つの角度は？

（１）は条件式をα^2で割って解の公式を用い、β／α＝－(1／2)±(√3)i／2
とでました。
（２）(1)から∠ＡＯＢ＝±120°とだけでましたが、他の角度が・・・
(0-β)／(α－β)＝β／(β－α)＝(β／α)／｛(β／α)－1)｝
＝(-1±√3i)／(3干√3i)？？

複素数よくわからないよぅ。
掛け算、割り算は回転と拡大縮小というのはわかるのですけど。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

（１）でβ/α　は１の3乗根の虚数解です。絶対値が１
と言うことは|α|＝|β|
（２）2等辺三角形
（３）β^2/α＝（β/α）β　
βを原点の回りに１２０°回転（－１２０°）
三点の絶対値は等しいので円周上の点

お礼

ありがとうございました。
何とか解くことができました。

回答No.2

mmky

ojamanboさんの回答が出てますので参考程度に

(a+ib)＾2+(a+ib)(c+id)+(c+id)＾2=0
1+{(c+id)/(a+ib)}+{(c+id)/(a+ib)}＾2=0
z={(c+id)/(a+ib)}≡[β/α] {≡：と置く。｝
={{(ac+bd)+i(ad-bc)}/(a＾2+b＾2)}
1+z+z＾2=0
z=(-1±√(1-4))/2=-(1/2)±i√3/2
|z|=1
argz=argα-argβ=±{π-π/3}=±120°
（２）原点Ｏ、Ａ(α)、Ｂ(β)を頂点とする3角形の3つの角度は？
|z|=1 だから、例えばαを基準に考えると、
a=1, b=0,　と置けば、α=(a+ib)=1
z=(β/α)=β=-(1/2)+i√3/2, -(1/2)-i√3/2
だから三角形OABは頂角を120°とする二等辺三角形、
他は30°ずつですね。
（３）Ａ(α)、Ｂ(β)、Ｃ(β^2／α)が表す点を頂点とする3角形の3つの角
α=1 と考えれば、
C=(β/α)*β=β*β=argβ+argβ=±240°
B(β)にたいしてC(β^2／α)はさらに±120°回転したということ。
だからABCはそれぞれ、
1*e＾i0, 1*e＾i(2π/3),　1*e＾i(4π/3)
にありますね。{註： r*e＾iθ=|z|*{cosθ+isinθ} }
だから、ABCは頂角がそれぞれ60°の正三角形になりますね。
基準を考えればわかりやすいですね。

お礼

ojamanboさんの解説で、何とか解けました。

僕の考えたのとは違うやり方だってのでとても参考になりました。
どうもありがとうございましたー!