複素数平面

質問

原点をoとする複素数平面上で、０でない複素数ｚ、ｗのあらわす点をそれぞれP（ｚ）、Q(w)とする。ｚに対してｗを、oを始点とする半直線OP(ｚ）上にQ(w)があり、|w|=2/|z|、w=2/z（ｚのバー）を満たすように取るとする。
（１）±２、±２iのあらわす4点を頂点とする正方形の周上を点P（ｚ）が動く。このとき、P(z)とQ(w)が一致するｚを求めよ。
（２）P(Z)が（１）の正方形の周上を動くとき。点Q(ｗ）の描く図形を求めよ。

全くとき方がわかりません。
とき方を詳しく教えてください！

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

取り敢えず（１）だけ。
（１）±２、±２iのあらわす4点を頂点とする正方形の周上を点P（ｚ）が動く。このとき、P(z)とQ(w)が一致するｚを求めよ。
＞z=x+iyとおくと、z~=x-iy
|w|=2/|z|=2/√(x^2+y^2)、
w=2/z~=2/(x-iy)=2(x+iy)/{(x-iy)(x+iy)}=2(x+iy)/(x^2+y^2)
実数部をR、虚数部をIで表すと、P(z)とQ(w)が一致するのは
R(w)=R(z)かつI(w)=I(z)のときだから
2x/(x^2+y^2)=x、2y/(x^2+y^2)=yが成り立つときだから
x^2+y^2=2、すなわちOを中心とする半径√2の円周上にzがあれば
よい。問題の正方形の周上でこの円周と一致する点(z)は
(1+i)、(-1+i)、(-1-i)、(1,-i)・・・答

お礼

ありがとうございます！