複素数平面

質問

複素数平面上の異なる３点Ｏ(０)、Ａ(α)、Ｂ(β)を頂点とする三角形において、２α＾２－２αβ＋β＾２＝０が成り立つという。この三角形はどのような形か。

２α＾２－２αβ＋β＾２＝０をα＾２で割り、２－(２β／α）＋(β＾２／α＾２)＝０としました。ここまではいいのですが、参考書の模範解答を見てみるといきなりβ／α＝１±ｉ＝√２{cos(±４５°)＋ｉsin(±４５°)}となっていました。なぜこのようになるのですか？私の計算間違いかもしれないのですが、この答えにならないのです。答えは∠ＯＡＢ＝９０°の直角三角形となっています。解き方をどなたか教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.2

mirage70

２－(２β／α）＋(β＾２／α＾２)＝０としました。
基本に沿って、数字は外に出し、
２－２(β／α）＋(β＾２／α＾２)＝０として、
(β＾２／α＾２)を(β／α)＾２となおしてから計算すれば、
誤らなかったのではないですか?
即ち、(β/α)^2-2(β/α)+2=0とすべきでしたね。

お礼

＞即ち、(β/α)^2-2(β/α)+2=0とすべきでしたね
私が間違いはmirageさんのご指摘のとおりです。回答有難うございました。

回答No.1

ONEONE

解の公式をつかっています。
β／α＝ｘとおいてみると
x^2-2x+2=0
x=1±√(1-2)=1±i=√2{(1/√2)+(i/√2)}=√2{cos(±45°)+isin(±45°)}=β／α
となります。
ゆえにβはαを±45°回転し√2拡大した点。
だから∠AOB＝45°、√2OA=OBだから
∠OAB=90°でOA=BAの直角二等辺三角形

お礼

丁寧に解いたら、バッチリ答えが求まりました。回答ありがとうございました。