大学院入試 フーリエ解析の問題

質問

http://wwwoa.ees.hokudai.ac.jp/exam/backnumber/sen02m.pdf
の３ページの問題なのですが、（a）の問題で、
証明すべき２つの式が間違っていると思うのですが・・・。
私が一応下のように考えたのですが・・・
Ψ(x.t)=ABと分離して
AB´´＝v~2×A´´B=λ~2
として、式を変換したところ・・
A´´－λ~2＊A＝0
B´´－v~2*λ~2＊B＝0
となると思うのですが、何故問題では
符号がプラスになっているのでしょうか？

回答No.1

inara · ベストアンサー

Ψ(x,t) = A(x)*B(t) とおくと、∂^2Ψ/∂t^2 = A*B''、∂^2Ψ/∂x^2 = A''*B ですから(A'' = dA(x)/dx、B'' = dB(t)/dt という意味です）
∂^2Ψ/∂t^2 - ν^2*∂^2Ψ/∂x^2 = A*B'' - ν* A''*B = 0 → 1/ν*B''/B = A''/A

左辺は t だけの関数、右辺は x だけの関数ですから、等式が成り立つには、1/ν*B''/B = A''/A = C （定数） でけなればなりません。
ただし、C は負とゼロと正の３つの場合があって、
(1) C<0 の場合　C = -λ^2 (<0) とおくと A(x) = C1*sin(λ*x) + C2*cos(λ*x) 、B(t) = C3*sin(λ*ν*t) + C4*cos(λ*ν*t)
(2) C=0 の場合　A(x) = C1*x + C2、B(t) = C3*t + C4
(3) C>0 の場合　C = λ^2 (>0) とおくと A(x) = C1*sinh(λ*x) + C2*cosh(λ*x) 、B(t) = C3*sinh(λ*ν*t) + C4*cosh(λ*ν*t)
となります。

境界条件 Ψ(0,t) = Ψ(1,t) = A(0 or 1)*B(t) = 0 を満足するには、B(t)が何であっても成り立たねければならないので、 A(0) = A(1) = 0。これを満足するには
(1) C<0 の場合　C2 = 0、C1*sin(λ） = 0 → λ= m*π (m = 1,2,...)
(2) C=0 の場合　C2 = 0、C1 + C2 = 0 → C1 = C2 = 0
(3) c>0 の場合　c2 = 0、C1*sinh(λ） = 0 → λ = 0
となります。(2)と(3)は物理的に意味がないので、C = -λ^2 (<0) でなければなりません。したがって

1/ν*B''/B = A''/A = -λ^2 → A'' + λ^2*A = 0、B'' + λ~2*ν^2+B = 0

回答No.2

inara

ANo.1です。訂正します。

（最初の行）
【誤】 (A'' = dA(x)/dx、B'' = dB(t)/dt という意味です）
【正】 (A'' は d^2 A(x)/dx^2、B'' は d^2 B(t)/dt^2 という意味です）

（最後の行）
【誤】 → A'' + λ^2*A = 0、B'' + λ~2*ν^2+B = 0
【正】 → A'' + λ^2*A = 0、B'' + λ~2*ν^2*B = 0

お礼

詳しい解説ありがとうございました。
そのように解くとは知りませんでした。