二次関数のグラフの問題です

質問

２次関数の問題で
ｙ＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃのグラフ（上に凸の形でｘがマイナスのところとプラスのところで２ヶ所交わっている）のときに、ａ，ｂ，ｃの符号を調べよ。
というもので、上に凸ということより、ａ＜０　は分かるんですが、
ｂ，ｃの符号を求め方がよく分かりません。
グラフの図が与えられているので、それを見て答えればいいだけなんでしょうか？
式から求めることはできないのでしょうか？？

表記の仕方など伝わりにくいかもしれませんが、よろしくお願いします。

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

>上に凸の形でｘがマイナスのところとプラスのところで２ヶ所交わっている

この情報でaとcの正負が決定できます。bの正負を決めるには
頂点がxの正の領域か負の領域にあるかを読み取ってください。
(軸が正負のどちらにあるかということ)

>上に凸ということより、ａ＜０　は分かる

合ってます。交点の座標を(α,0),(β,0)とすると　(α>0,β<0）
y=a(x-α)(x-β)=ax^2-a(α+β)x+aαβ

aαβは正(負×負×正)ですからcは正です。

bの正負は#1さんの回答を参考に考えてください。

>グラフの図が与えられているので、それを見て答えればいいだけなんでしょうか？

まさしくグラフと式の係数を理解するための問題だと思います。
グラフと関数の関係をよく理解しておくと今後の理解が楽になりますよ。

お礼

回答ありがとうございました。アドバイスもありがとうございます！

回答No.4

kumipapa

y = ax^2 + bx + c

上に凸　⇔　a＜0

b については、皆さんがおっしゃる通り、放物線の軸の位置、即ち、頂点の x 座標の値の正負を見るのが一番（それしかないか？）でしょうね。
y = a{x^2 + b/a x + (b/(2a))^2} - (b^2 -4ac)/(4a)
= a(x + b/(2a))^2 - (b^2 - 4ac)/(4a)
なので、放物線の軸（頂点の x 座標）は x = -b/(2a)
これが正ならば　-b/(2a) ＞ 0 かつ a ＜ 0 より b ＞ 0
負ならば -b/(2a) ＜ 0 かつ a ＜ 0 より b ＜ 0
0 の場合もあって、 -b/(2a) = 0 かつ a≠0 より b = 0

c については、y = 0 の解α, βと係数の関係から a αβ = c ＞ 0 としてもよいですし、y = ax^2 + bx + c は (0, c) を通りますから、x = 0 における y 座標（即ち c ）の正負から c ＞ 0 としても良いと思います。

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.2

noname#56760

文が長いので整理してみましょう
*上に凸の形⇒ａ＜０
*ｘ軸と２ヶ所交わっている⇒判別式＞０
*ｘがマイナスとプラス⇒解と係数の関係αβ＜０

他にも放物線の形状を使うやり方があります。

お礼

回答ありがとうございました。まとめ方が分かりやすいです！

回答No.1

happy2bhardcore

y=a{(x+b/2a)^2　+(c/a)-(b/2a)^2}
と変形できますね？これで考えてみましょう。

ヒント）y=(x+2)^2 +2の頂点の座標は（-2,2）になります。

お礼

回答ありがとうございました。