期待値の問題 難

質問

正八角形ABCDEFGHがある。この八角形の頂点の中から異なる３つの頂点を無作為に選び三角形を作る

（1）直角三角形ができる確率を求めよ
（2）直角三角形または二等辺三角形ができる確率を求めよ。
（3）できた三角形が、鋭角三角形なら１０点、直角三角形なら５点、鈍角三角形ならば１点の得点を与えるものとする。このときの得点の期待値を求めよ。

（1）は隣り合う２つの頂点が選べられるか否かで場合わけしたんですが１時間（正確には６９分）もかかってノートもかなりの幅をとってやっととけました・・・
だけどもっとコンパクトに解ける方法がわかるかたは教えてください

（2）、（3）はともにわかりません
（2）はひとつひとつ二等辺三角形をさがしたんですが・・・回答に「数えました」なんてかけないんで（泣）
（３）は着目点とヒントをおしえてほしいです
よろしくおねがいいたします

回答No.1

postro

三角形は全部で8C3=56こある。
その中で、直角三角形は向かい合う点を選ばなくてはできない。
ひと組の向かい合う点を選ぶと、６この直角三角形ができる。
向かい合う点は４組あるので、直角三角形は4*6=24こある。
確率は24/56
隣り合うABの長さと同じ長さを２辺とする二等辺三角形は８こあり、
ACの長さと同じ長さを２辺とする二等辺三角形は直角三角形になり、
ADの長さと同じ長さを２辺とする二等辺三角形は８こあるので、
直角三角形でない二等辺三角形は１６こある。
確率は16/56
どっちでもない確率は(56-24-16)/56
あとはできますね？