高校数学、確率、対等性

質問

１辺の長さが１の立方体ABCDEFGHが図のような位置関係にあるとする。この８つの頂点から異なる３つの点を選び、それらを頂点とする三角形をつくる。
（１）三角形は全部で、何個できるか？また互いに合同ではない三角形は何種できるか？
答え８ｃ３こ、３種類（三辺が１，１、√２のもの１、√２、√３のもの、√２、√２、√２のもの）
（２）これが質問の中心です。
三角形ABCと合同になる確率はいくつか？また、正三角形となる確率はいくつか？
（問題集の方針）
三角形は（１）の解答の通り、全部で、８ｃ３個できるが、これを全事象にとり、全て調べていくのは無理。
しかし、８つの頂点は対等なので、三角形の頂点はAと決めてしまってもよい。すると、残りの２つの頂点は７ｃ２通りで、これならしらべられる。
(疑問）
確率は同様に確からしい全事象をしらべ分母に置き、その中の題意に適するものを分子に置くと理解しております。
三角形の頂点がAに限って調べることで本問の確率が求められるのは対等性からと書いてありますが、よくわかりません。具体的におしえてください。また、三角形の頂点がAに限って調べた全事象は同様に確からしいといえるのでしょうか？

回答No.3

MagicianKuma · ベストアンサー

組み合わせで考えると、8C3=56で7C2=21で1/8になっていない。なのでAを頂点としたものだけを考えていいのかどうか？ABCとBACをどう考えるの？等々で混乱されているのでしょう。こう考えたらどうでしょう。組み合わせではなく、3つの頂点を選ぶ時、同時に選ぶのではなく、順々に3つを選んでいく。そして、選ぶ順が違えば、同じ組み合わせでも違うものとして観てみる。△ABCと△BACは違うものと見なすわけです。こうして選ばれる8*7*6通りの三角形はいずれも同様な確からしさで選ばれると考える。するとね、Aから始まる三角形は7*6通りある。Bから始まる三角形も同じ数だけある。C～Hも同様。そして対称性からAから始まる三角形について言えること(正三角形の数など）は全てB～Hから始まる三角形についても同じであるはず。ならばAから始まる三角形だけ考えても確率は出そうとなる。で7*6通りを考えるのか？となるが、ここでまた思考を組み合わせに戻す。Aを固定した後、2番目3番目は順番を気にしなくてもよいはず。(逆の順が必ず対であるから）で結局7C2=21通り調べれば求める答えが得られると言うわけです。こういうことに気づくかどうかは慣れの問題です。

お礼

ありがとうございました

補足

確率の分野においては、同様に確からしいことが保証できれば、順列と組み合わせを自由に使い分けて考えてよい。題意をどう解釈するかで、解法は異なる。ということでしょうか?

回答No.2

fluidicB

参考書の説明に書いてある、対称性とはどういうこと

立方体って６面ありますよね。とりあえず適当に手前の面を面１と呼んで、上面を面２，右、左、下、奥を順に面３，４，５，６って名前付けたとしますね。サイコロっぽい、って思ってください。

手前を面１のまま、この立方体を回して、上面に面３，４，あるいは５を持ってきても、頂点と面の名前がずれる以外、辺と点の位置が完全に重なるように回すことができますよね。また、上面を面２のまま手前面を面１以外にすることもできるし、その他いろいろ。こういうのを対称性があるっていいます。

立方体はちょっと対称性が程度じゃなくてずいぶんと対称性があって（いいかげんな言い方ですねw）、頂点Ａ以外のすべての頂点を頂点Ａの位置に置いても頂点と辺を重ねることができるし、辺ＡＢ以外のすべての辺も、辺ＡＢの位置において残りを重ねることができます。面１以外の...も同様です。

逆の例でいうと、辺ＡＢと線分ＡＣは別物です。そもそも長さが違いますよね。これは両方が選択肢にある状況で適当に選ぶのなら場合分けとかが必要になってきます。

で、
＞　同様に確からしいのでしょうか?
問題文が見えないのでよくわからないですが、問題の雰囲気だけで広い心でわかってあげると、
＞　この８つの頂点から異なる３つの点を選び
という問題文の８つの頂点を選ぶのは「同様に確からしいとする」という前提があるようです。
お互いに隣の関係にあるか、対角の関係にあるか、対角の裏側くらいの関係にあるかどうかとかと無関係に淡々と８点を対等に考えて選ぶようです。書いてなければ出題ミスです。
もし粒子の衝突を考えるようなケースなら、そばにいる粒子の方がぶつかる確率が高い、とかいうことがあります。ＡからみてＢとＣは距離が違うので、つまり対等でないので、同様に確からしくえらばれるなどという保証はありません。問題文にわざわざ書かれてなければならないものです。ただ高校生くらいを相手にするときは毎回「同様に確からしい」って但し書きをつけない先生の口頭説明や、雑な参考書や、ちょっとした練習問題とかは、たぶんよくある話なので、目くじらを立てるほどでも...

そしてつぎに、数の数え方の基本ですが、３つ選ぶときは、同時に３つ選ぶのだとしても、順番に３つ選ぶのだとしても同じものとして考えます。同じ選択肢を２度３度選ぶことがあるかどうかだけを気にすればよくて、今回は同じ頂点を選ぶことはありません。そういうものとして結果的に３つ選べばいいです。
そこで最初に選んだ一つの頂点をＡと呼びなおしてしまって、それ以外を図にあるように命名していけば、Ａが選ばれたものとして、あと２点選ぶという問題と置き直しても、同じです。

お礼

立方体の対称性とはどういうことか？＝まわして重なるということは理解できたのですが、最後のそこで最初に選んだ一つの頂点をＡと呼びなおしてしまって、それ以外を図にあるように命名していけば、Ａが選ばれたものとして、あと２点選ぶという問題と置き直しても、同じです。という部分がわかりません。ここがAを頂点とするものを調べえばよいことの理由だと思うのですが、理解力がなくて申し訳ないのですが、ここをもう少し詳しくおしえていただけませんか？

補足

今さっきわかったのですが、８個の点から３つの点を選ぶ際に、最初の点はA××、Ｂ ××、Ｃ××、Ｄ××、Ｅ××、Ｆ××、Ｇ××、Ｈ××となりますが、どの点を選んだとしても、出来うる三角形のパターンは同じであるからA××のものだけ数えておけばよいということなのでしょうか?
ここで、なんとなくわかっているのですが、完ぺきではないのでお聞きしたいのですが、最初のA××、Ｂ ××、Ｃ××、Ｄ××、Ｅ××、Ｆ××、Ｇ××、Ｈ××と考えている時、たとえば、AＢＣ（Aが最初）とＢAＣ（Ｂが最初）の扱いはどうなっているのでしょうか?＿

回答No.1

fluidicB

立方体の頂点を順に３点選ぶとして、
最初に選んだ点をＡと呼んで問題の図のように配置することにします。

「します」といっても、問題の条件によってはできないかもしれないわけですが、
立方体なら大丈夫ですよね。

その本が言っているのはそういうこと。

お礼

ありがとうございました

補足

私の理解力不足で、１日考えていたのですが、まだわかりません。
参考書の説明に書いてある、対称性とはどういうことで、なぜAを頂点とするものに限って数えても同様に確からしいのでしょうか?