直角三角形になる確率

質問

ｎを3以上の自然数とする。このとき正２ｎ角形の頂点から無作為に異なる４つの頂点を選び、それぞれABCDとする。以下の問いに答えよ。
(1)三角形ABCが直角三角形である確率を求めよ
(2)A、B、C、Dから3つの頂点を選んで得られるすべての三角形の集合を考える。その集合の少なくとも１つの要素が直角三角形である確率を求めよ。
(3)三角形ABCが鈍角三角形である確率をPnとする。nを限りなく大きくするときPnの極限値を求めよ。

この問題を解こうとしているのですが、
（１）ではDは関係ない（？）ので、全事象は２ｎC３となるのでしょうか？それと２ｎ角形で直角三角形になる場合というのは、円に内接させたときに直径になるような2点を選ぶことなのでしょうか？
わからなくて困ってます。回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

>全事象は２ｎC３となるのでしょうか？
合っています。

>それと２ｎ角形で直角三角形になる場合というのは、円に内接させたときに直径になるような2点を選ぶことなのでしょうか？
合っています。

結局、3点を選んだ時に2つの点が向かい合う確率ですね。
全事象　2n(2n-1)(2n-2)/6=2n(n-1)(2n-1)/3

条件に合う事象は向かい合う2点の選び方がn通り有り、それぞれに後一点が(2n-2)有りますから
n(2n-2)

後は割り算でしょう。#1さん風に解くのなら
最初はどれでもよく、1、次に向かいを選んだら1/(2n-1)最後はどれでも良いから1と
2点目を向かいでない点を選んだら3点目は1,2点目の向かいを選ぶので2/(2n-2)

1*1/(2n-1)*1+1*(2n-2)/(2n-1)*2/(2n-2)

を計算することになると思います。同じ答えになるはずです。

(2)はどれも向かいにならないように4点選ぶには1点選ぶごとに選べる点が2点ずつ減っていきますので

1*(2n-2)/(2n-1)*(2n-4)/(2n-2)*(2n-6)/(2n-3)

これが余事象なので1から引くのかな。
事象で数えるなら向かい合う点を組にして(n組)これを4個選ぶ。
組のどちらの点を選んでもいいので2^4をかけて、それを全事象で割って1からひく

1-2^4*nC4/2nC4=1-16n(n-1)(n-2)(n-3)/2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)

同じになるはずです。計算してみてください。

(3)とりあえず正2n角形にいくつ鈍角三角形があるか数えて見ます。
最初に鈍角に向かい合う線を引いて見ます。
2点を選ぶとその間の角の数の少ない方をkとすると
k=n-1だと向かい合いますので不可です。よって
0≦k≦n-2
少し考察するとそれぞれのkは2n通りあることが分かります。
また、これに対して鈍角を作るような点はその間にとることになりますから
k通りあります。よって全部で

2n*Σ[k=0,n-2)k=2n(n-1)(n-2)/2=n(n-1)(n-2)

全事象が2nC3でしたから割ると

Pn=6n(n-1)(n-2)/2n(2n-1)(2n-2)=3(n-2)/2(2n-1)

lim[n→∞]Pn=3/4

なんか感覚的より大きくなってしまったので自信ないです。

回答No.2

larme001

この手の問題は有名ですから、ここでキチンと説明するよりも、確立の参考書なら大体まずのっているので、それを見てキチンと理解したほうが言いと思われます。考え方だけのべます。

正○角形の頂点は中心を頂点とする円周上に乗ります。これから、外接円が直角三角形になる場合を考えてください。直角三角形になるのは、2点がその円の直径を作るときに、他の一点をとれば直角になります。さらに点A(1),A(n/2+1)が直線をつくるとするとそれ以外の点で直角ができます。
（１）上記のことを注意して直径を定めればよいことが分かるはずです。あとは直径が2n角形ではいくつ作れるか？を考えてください。また、ここで2n角形と偶数になっている理由は、奇数の場合直径を通るような線が引けないからそういう条件があるということも納得していくと出題者の求めている考え方を察するいい訓練？にもなるでしょう。わからなければ具体的に正６角形あたりから考えてみましょう。
たとえば六角形の場合A（１）～A（６）とすると
A(1)（４）と他の４点で四つ、これらは、直径をA(2,5),A(3,6)と取るときも同様で、すべての三角形で重複はないので、4x3=12個でしょう。
これを2n角形の場合でかんがえると、、、、？

（２）直角三角形になるには直径を通る線が引ける、といいました。これはA～Dを選んだときに少なくとも一組直径をつくる組がふくまれていなければならないということです。

（３）直径を通る線ともう一点で直角三角形が出来ます。これで、直径を作る一点を、とったもう一点とその直径に対して反対側にずらすと、直径だった角は鈍角になります。鈍角三角形は、鈍角を一個持っていることですのでこのような視点から何個あるかΣ出表してみましょう。

ちなみに、鋭角三角形をもとめよ。という場合は三角形の総数から直角、鈍角三角形の数を引くことで求めるのがかぞれまちがいが少ないです。なぜなら、鈍角三角形は鋭角をもっているので、直接角を指定して数えにくいからです。

ちなみに確立ですから、２ｎC３で割るのを忘れずに

回答No.1

nrb

正四角形は無いんですね　これは全部９０度になりますが・・・

正ｎ２ですから必ず偶数になりますね
(1)三角形ABCが直角三角形である確率を求めよ

　　パターンは決まります

　　ABの線を９０度になるCの線がある位置ですから
　　確立は６角形は
　　最初の点は６通りですがこれは関係ないです
　　次に選ぶ点が９０度になる位置は　１／５ですから

　　２ｎ角形の時は
　　　１／（２ｎ－１）　となる

(2)A、B、C、Dから3つの頂点を選んで得られるすべての三角形の集合を考える。その集合の少なくとも１つの要素が直角三角形である確率を求めよ。

　　４つの以上の三角形ができる最高は６個（正６角形）
　　ですが、通常の４つ以外には９０度になりまんので

　　通常の４つは全部不等辺三角形しかできません

　　したがって単純に４倍
　　４／２ｎ－１　

(3)三角形ABCが鈍角三角形である確率をPnとする。nを限りなく大きくするときPnの極限値を求めよ。

　　　正６角形時は

　　　　　１／５

　　　正８角形
　　　　　２×１／７

　　　正２ｎ時は・・・
　　　　　　（（ｎ×２－２）／２－１）！／ｎ－１

　　　　で極限を求めるってめんどいので略

あってるのか？