三角比の相互関係(180°-θの公式)

質問

θが鋭角の時、180°-θは鈍角になる。この2つの三角比の間に、どんな関係が成り立つか。
x軸の正の部分とのなす角がθ、および180°-θである半直線上に2点PとP'をOP=OP'=rとなるようにとると、この二点はy軸に関して対象になる。

という教科書の文で、180°-θである半直線上とはどういうことでしょうか?そもそも半直線の意味がよく分からなく困ってます。

また、120°の三角比を求める問題などで
座標を見ると180°ー120°=60°で鈍角の60°の直角三角形の値が答えになりますが、60°の2倍の120°の部分は使わないのでしっくりこないです。説明していただけるとありがたいです。

回答No.5

sanori · ベストアンサー

＃１の回答者です。補足を拝見しました。

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また、120°の三角比を求める問題などで
座標を見ると180°ー120°=60°で鈍角の60°の直角三角形の値が答えになりますが、60°の2倍の120°の部分は使わないのでしっくりこないです。説明していただけるとありがたいです。
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鋭角の90°＋鈍角部分の30°で120°
なのに残りの60°の部分が答えになるのがしっくりこないんです。
180-120で60°は公式で分かるのですが、、、
なかなかうまく説明できなくすいません

「鋭角の90°＋鈍角部分の30°で120°」というのはおかしいですね。
ますます日本語が変です。
「直角の90°＋　30°で、鈍角の120°」という意味なのでしょうね。おそらく。

さて、
時計の針（１本）をイメージしてください。
三角関数は、３時の位置（つまり０度の位置です）を出発点とし、反時計回りで角度を数えるのが決まりになっています。
それは、ご存知ですよね？

では、もう一つの針を登場させ、９時の位置（つまり１８０度の位置です）を出発点とし、１本目の針と逆周りで、同時スタートで・同じ速さで回る状態をイメージしてください。

１本目の針が２時を指すとき、２本目は１０時を指します。
このとき、針先の高さはどうでしょうか？
２時と１０時は、同じ高さですよね？
これが、まさに、sinθ　＝　sin（180－θ）　です。

ですから、sin120　＝　sin（180-60）　＝　sin60　なんです。

お礼

回答ありがとうございます。時計を使うと分かりやすいですね。ありがとうございました。

回答No.4

debut

図がかけないのでなんですが、例えばアナログ時計の文字盤で
たとえてみれば、
針の根元が原点、９時と３時の線がｘ軸、12時と６時の線がｙ軸、
短い針は絶対３時から動かず、長針だけが動くとします。
このとき、半直線とは時計の針のようなものと考えてください。
（一方の端には終点がありもう一方の端は無限に続く）

３時方向をｘ軸の正の向きとして、180°はちょうど９時の所、
よって、180°－θは長針が９時の方向から12時の方に向かって
角度θだけ行ったところにある場合です。
例えば、180°－120°というなら(時計の数字間は30°なので）
９時から120°戻った１時のところに長針がある場合です。
（＝ｘ軸の正の向きの３時からは60°）

で、三角比は、この時計の中心が原点で、長針の長さが１と考え
たとき、長針が３時方向から12時→９時の方向へθだけ動いた場合の
長針の先端がある座標を(ｘ、ｙ)とすれば、
ｘ＝cosθ、ｙ＝sinθ　と考えることができます。

例えば、θ＝30°なら長針は２時にあり、先端の座標は
(cos30°、sin30°)＝(√3/2,1/2)です。そして、長針が10時に
あるとき、その先端のｘ座標は２時のときのｘ座標を負に
したもの、ｙ座標は２時のときのｙ座標と同じです。
だから、cos150°やsin150°の値は２時のとき(30°)の値を使って
求められます。 ２倍とかは全然関係ありません。

同じように考えれば、120°、つまり長針が11時のｘ、ｙ座標は
１時のとき(60°）のｘ、ｙ座標を基にして求められます。

ｙ軸について対称と言うのは、２時と10時、１時と11時のような
関係のことをいっています。

お礼

回答ありがとうございます。時計を使うと分かりやすいですね。ありがとうございました。

回答No.3

debukuro

＞半直線の意味が
直線とはどのようなものか分かりますか
中学校の数学では最初に習うのが公理のはずです
公理の補助として幾何の約束事があります
そこで
直線
線分
半直線
を習ったはずです

直線はその上に任意に選んだ点によって二つの部分に分けられる

＞x軸の正の部分とのなす角がθ、および180°-θである半直線上に2点PとP'をOP=OP'=rとなるようにとると、この二点はy軸に関して対象になる

θ、および180°-θ：これのどこが分からないのですか

＞鈍角の60°：６０度は鋭角です

＞120°の部分は使わないのでしっくりこないです
三角関数は９０度以下に置き換えられると言うことを習わなかったのですか
１２０度→６０度
この部分が分からないというのではなくすべてが分からない
これじゃ問題の丸投げ
少しは自分で努力をしたというところを示して質問をしてください

お礼

ご回答ありがとうございます。
直線、半直線、線分習ってました。中学の教科書を見たところ思い出しました。自分でちゃんと調べてから質問するべきでした。鈍角は90°より大きのだから60°は間違いですね。すいません。しかっていただきありがとうございました。努力します。ありがとうございました。

回答No.2

ymmasayan

直線は両方無限です。
半直線は片方が固定で反対方向が無限です。
両端が固定なら線分です。

つまり、原点を一端とした６０度の半直線と１２０度の半直線が２本あるということです。

鈍角の場合、例えば１５０度とすると補角は３０度です。
左側の３０度の三角形を右側に対称的に移すと(折り返すと)３０度の三角形になります。
１．高さはどちらもプラス、底辺はマイナスからプラスに変わります。
２．斜辺はどこに有ってもプラスと考えるのが約束です。
これによって鈍角を全て鋭角に変換して計算することが出来ます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
直線、半直線、線分習ってました。中学の教科書を見たところ思い出しました。分かりやすい説明ありがとうございました。

回答No.1

sanori

こんばんは。

＞＞＞
180°-θである半直線上とはどういうことでしょうか?そもそも半直線の意味がよく分からなく困ってます。

「線分」　＝　両端の位置が決まっている、有限の長さを持った線
「直線」　＝　両端の位置がどちらも決まっていない、無限の長さを持った線

そして、「半直線」は、上記２つの中間です。
すなわち、
「半直線」　＝　片側の端の位置（と、線の伸びる方向）だけが決まっている、無限の長さを持った線
です。

ご質問のケースですと、片側が原点（０，０）である半直線のことです。

＞＞＞
また、120°の三角比を求める問題などで
座標を見ると180°ー120°=60°で鈍角の60°の直角三角形の値が答えになりますが、60°の2倍の120°の部分は使わないのでしっくりこないです。説明していただけるとありがたいです。

「鈍角の60°の直角三角形の値が答えになります」
と
「60°の2倍の120°の部分は使わない」
の意味がまったくわかりません。
具体的なことを補足欄に書いていただければ、回答できると思いますが。

補足

鋭角の90°＋鈍角部分の30°で120°
なのに残りの60°の部分が答えになるのがしっくりこないんです。
180-120で60°は公式で分かるのですが、、、
なかなかうまく説明できなくすいません