次の問題を解いて解法を教えてください。

質問

ｎを2以上の自然数とし、正２ｎ角形の２ｎ個の頂点を反時計回りにA1、A2,…,A2nとする。A1,Ai,Aj(1<i<j)を３頂点とする三角形で∠AiA1Aj≧90°を満たすものの個数をNnとする。
(1)N4を求めよ。
(2)Nnをｎの式で表せ。
(3)A1、A2,…,A2nの中から3点選び、これらを頂点とする三角形を作るとき、この三角形が鋭角三角形(すべての角の大きさが90°より小さい三角形)となる確率Pnを求めよ。
(4)lim(n→∞)Pnを求めよ

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

(1)N4を求めよ。
＞n=4(正8角形)では∠AiA1A(i+1)=π/8で∠AiA1A(i+4)=π/2
だからi+4≦j≦8
i=2のときj=6,7,8
i=3のときj=7,8
i=4のときj=8
よってN4=3+2+1=6・・・答
(2)Nnをｎの式で表せ。
＞正2n角形では∠AiA1A(i+1)=π/(2n)で∠AiA1A(i+n)=π/2
だからi+n≦j≦2n
i=2のときj=n+2,n+3,n+4,・・・,2n(jの個数n-1)
i=3のときj=n+3,n+4,・・・,2n(〃n-2)
i=4のときj=n+4,・・・,2n(〃n-3)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
i=n-1のときj=2n-1,2n(〃2)
i=nのときj=2n(〃1)
よってNn=(n-1)+(n-2)+(n-3)+・・・+2+1=n(n-1)/2・・・答
(3)A1、A2,…,A2nの中から3点選び、これらを頂点とする三角形を作るとき、
この三角形が鋭角三角形(すべての角の大きさが90°より小さい三角形)となる確率Pnを求めよ。
＞三角形の総数(3点の選び方)は2nC3=(2n)!/{3!*(2n-3)!}=2n(2n-1)(n-1)/3
それらのうちの直角三角形及び鈍角三角形の数は合計2n*Nn=(n-1)n^2だから
Pn=[{2n(2n-1)(n-1)/3}-{(n-1)n^2}]/{2n(2n-1)(n-1)/3}
=(n-2)/{2(2n-1)}・・・答
(4)lim(n→∞)Pnを求めよ
＞lim(n→∞)Pn=lim(n→∞)(1-2/n)/{2(2-1/n)}=1/4・・・答

お礼

ありがとうございます。助かりました。

回答No.1

gohtraw

この多角形の外接円を考え、その中心をＯとします。
多角形の頂点はすべて外接円の周上にあるとします。

∠ＡｉＡ１Ａｊ＞＝９０°　ということは、円周角と中心角の
関係から、
∠ＡｉＯＡｊ＞＝１８０°・・・（あ）ということです。

ここからは図がないと実感しにくいと思うのですが、

（ｊ－ｉ）の値が一定の範囲にあるとき、（あ）の条件が
満たされます。