三角形の面積を2等分する線分の長さ

質問

直角をはさむ辺の長さが１の直角２等辺三角形を一本の線分で切って面積を２等分するとき線分の長さの最小値を求めよ。

この問題を考えています。
題意の三角形は辺の長さ１、１、√2の三角形で、2等分するから90度の点から垂直に線を下ろして答え1/√2かなと思ったら、実際は√(√2 -1)でした。
やはり勝手に頂点を通るように線をひいてはダメだったようです。そこでどの頂点も通らないように線をひいて長さをxとおいてみて正弦定理や余弦定理を使おうと思ったのですがうまくいきませんでした。
何か特別な定理みたいなのを使うのでしょうか？
ささいなヒントでも構わないので回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いします

回答No.3

debut · ベストアンサー

AB=BC=1,∠B=90°の直角三角形とし、この三角形の面積を２等分する
直線がBC,CAと交わる点をそれぞれD,Eとします。

△CDEの面積は、公式から(1/2)*CD*CE*sin45°で△ABCの半分なので=1/4
(1/2)*CD*CE*(1/√2)=1/4→整理すると→CD*CE=√2/2
よって、CE=√2/(2CD)・・・☆
求める線分の長さをｘとすると、余弦定理より
x^2=CD^2+CE^2-2*CD*CE*cos45°
これに☆を代入して、CD^2と1/(2CD^2)で相加平均・相乗平均の関係を
使えば、x^2の最小値がわかります。x＞0なので、これからそのままxの
最小値を求めることができます。

お礼

3人の方々回答ありがとうございました。
おかげさまでとてもよく理解できました

回答No.2

redowl

45度を夾角とする、二等辺三角形の面積が　0.25になる時の
角度４５度の対辺の長さが、　求める答え。

余弦定理と　三角形の面積　で求まるはず。

仮に、　求める線分をa(二等辺三角形の底辺）、相等しい辺を　tとおけば

余弦定理　　a^2=２t^2-2t^2cos45°
面積　　　　0.25=(1/2)t^2 sin45°
連立方程式で、　tを消去　　で、求まります。

回答No.1

mister_moonlight

△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝ＢＣ＝1、ＣＡ＝√2、∠Ｂ＝Ｒとする。
ＡＢ上に点Ｄ、ＢＣ上に点Ｅをとり、ＢＤ＝x、ＢＥ＝y、0＜x、y＜1　‥‥(1)とする.
面積の条件から、2*(1/2)*(xy)＝1*(1/2)　即ち、2xy＝1　‥‥(2).
相加平均・相乗平均を用いると、(ＤＥ)＾2＝x＾2＋y＾2≧2xy＝1　((2)による)
等号成立は、x＝y＝1/√2　これは(1)を満たす。

以上から、最小値は1.