高校数学・確率

質問

nを3以上の自然数とする。このとき、正2n角形の頂点から無作為に異なる4つの頂点を選び、それぞれA,B,C,Dとする。
三角形ABCが直角三角形である確率を求めよ。

この問題を
直径となる頂点:2n通り×1通り(1つめの頂点が決まればもう一つも決まるため)
残り1つ頂点:(2n-2)通り
DはABC以外ならどこでもよいので(2n-3)通り
よって2n(2n-2)(2n-3)/2nC4
と解きました。

どこが間違っているのか、なぜ間違っているのかご教示お願いします。
答えは3/2n-1です。

回答No.4

atkh404185 · ベストアンサー

【補足の質問】の回答になっているかどうかわかりませんが・・・・・

例えば、

「１，２，３，４，５の５個の数字から３個とって

３桁の整数をつくるとき、偶数になる確率を求めよ。」

という問題があるとします。

解答は、

３桁の整数は全部で、

5Ｐ3 通り

そのうち、偶数は、

2×4Ｐ2 通り

よって、求める確率は、

2×4Ｐ3/5Ｐ3=2・4・3/5・4・3=2/5

となります。

ここで、偶数・奇数の判断は《一の位》が偶数であればよいから、

この、《一の位》の数が偶数になる確率は、

2/5 ・・・・・（ア）

であり、問題の答えと同じになります。

この（ア）は、

十の位と百の位を無視しています。

十の位と百の位の数はどの数でもよいので、

確率としては

1

ですね。

一の位に１個数字が入れば、残りの数字は４個だから、

4Ｐ3/4Ｐ3=1

です。

だから、偶数になる確率は、

2/5×4Ｐ3/4Ｐ3=2/5×1=2/5

とすることができます。（ふつう、このような解答は書かないですね。）

質問にもどりますが、

「三角形ABCが直角三角形である確率を求めよ。」

だから、

《Ｄ》はどこにあってもよい。

ことになります。

上の例題と比較すると、

『３点Ａ，Ｂ，Ｃ』が『一の位』

『点Ｄ』が『十の位、百の位』

に相当するかと思います。

解答の式を変形すると、

{2n×(2n-2)Ｐ2×3}/2nＰ4

={2n×(2n-2)(2n-3)×3}/2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)

=[{2n(2n-2)×3}/2n(2n-1)(2n-2)]×(2n-3)/(2n-3)

=[{2n(2n-2)×3}/2nＰ3]×(2n-3)/(2n-3)・・・・・（イ）

となります。

ここで、

この 2n(2n-2)×3/2nＰ3 は

2n 個の頂点から ３点Ａ，Ｂ，Ｃを選ぶとき、

△ＡＢＣが直角三角形になる確率ですね。

そして、(2n-3)/(2n-3)　は

残り 2n-3 個から１点Ｄを選ぶときの確率ですね。

（イ）をさらに計算すると

=2n(2n-2)×3/2nＰ3×1

=2n(2n-2)×3/2nＰ3・・・・・（ウ）

ということで、

『点Ｄを考えなくてもよいことになります。』

実際、

「正2n角形の頂点から無作為に異なる３つの頂点を選び、それぞれA,B,Cとき，

三角形ABCが直角三角形である確率を求めよ。」

の解答は、

（ウ）の式を書いて計算していくと思います。

結局、上の問題とこの問題の答えが《同じ》になります。

長々と書いてしまいましたが、

質問の回答になっているかどうかわからないのですが・・・・・

お礼

納得しました！
補足質問までお付き合い頂き本当にありがとうございます！

回答No.3

atkh404185

訂正・追加です。

（１） ２点Ａ，Ｂが直径になる場合

２点Ａ，Ｂの選び方（決め方）は　（← 抜けてました）

直径は 2n 本あるから　2n 通り

（２） ２点Ａ，Ｃが直径になる場合

２点Ａ，Ｃの選び方（決め方）は　（← 抜けてました）

直径は 2n 本あるから　2n 通り

（３） ２点Ｂ，Ｃが直径になる場合

２点Ｂ，Ｃの選び方（決め方）は　（← 抜けてました）

直径は 2n 本あるから　2n 通り

先ほどの回答ですが、（選び方）よりは（決め方）の方が、

「順列」と「組合せ」の紛らわしさがないかもしれませんね。

回答No.2

atkh404185

「正2n角形の頂点から無作為に異なる4つの頂点を選び、それぞれA,B,C,Dとする。」

　　↓↓↓

「異なる4つの頂点を選ぶ」

だけであれば、

2nＣ4 通りだと思いますが、

「それぞれA,B,C,Dとする。」

だから、４つの頂点の選び方は全部で、

2nＰ4 通りになると思います。

そのうち、

「三角形ABCが直角三角形である」場合は、

外接円で考えて、

《直径（半円に）対する円周角は直角（90°）であるから》

（１） ２点Ａ，Ｂが直径になる場合

直径は 2n 本あるから　2n 通り
（2nＰ1×1 通りでもよいと思います）

残りの２頂点Ｃ，Ｄの選び方が

(2n-2)Ｐ2 通り

よって、

2n×(2n-2)Ｐ2 通り

（２） ２点Ａ，Ｃが直径になる場合

直径は 2n 本あるから　2n 通り

残りの２頂点Ｂ，Ｄの選び方が

(2n-2)Ｐ2 通り

よって、

2n×(2n-2)Ｐ2 通り

（３） ２点Ｂ，Ｃが直径になる場合

直径は 2n 本あるから　2n 通り

残りの２頂点Ａ，Ｄの選び方が

(2n-2)Ｐ2 通り

よって、

2n×(2n-2)Ｐ2 通り

（１），（２），（３）は互いに排反だから、

三角形ＡＢＣが直角三角形になる場合は

2n×(2n-2)Ｐ2×3 通り

よって、求める確率は

{2n×(2n-2)Ｐ2×3}/2nＰ4

=2n×(2n-2)(2n-3)×3/2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)

=3/(2n-3)

となるのではないでしょうか。

補足

ありがとうございます！
わたしの回答では順番の考慮をしている・していないが曖昧になっていることがはっきり分かりました。

補足質問なのですが、調べていて分母を2nC3と取りDを考慮しない解き方があると知りました。なぜDは考慮しなくて良いのでしょうか？

回答No.1

jcpmutura

nをn≧3の自然数とする
正2n角形の頂点から1つの頂点を選び
Aとする
残り2n-1頂点から1つの頂点を選び
Bとするとき
(Aの対点は2n-1頂点の中に1つしかないから)
ABが直径である確率は
1/(2n-1)
となるから
ABが直径でない確率は
(2n-2)/(2n-1)
となる
ABが直径でないとき
残り2n-2頂点から1つの頂点を選び
Cとするとき
ACが直径である(ABが直径でない条件付)確率は
1/(2n-2)
BCが直径である(ABが直径でない条件付)確率は
1/(2n-2)
AC,BCが同時に直径となる事はないから
AC又はBCが直径となる(ABが直径でない条件付)確率は
2/(2n-2)
だから
AC又はBCが直径となる確率
=(AB直径でない確率)*{AC又はBCが直径(AB直径でない条件付)確率}
={(2n-2)/(2n-1)}*{2/(2n-2)}
=2/(2n-1)
だから
△ABCが直角3角形となる確率
=(AB直径となる確率)+(AC又はBCが直径となる確率)
=1/(2n-1)+2/(2n-1)
=3/(2n-1)