図形の個数

質問

一辺の長さが8である正方形を縦横それぞれ8等分する
縦と横の線分を使ってできる長方形のうち正方形でない長方形の総数はいくつか

円周上に等間隔に10個の点(10個を区別する)がある これらのうちの3個の点を頂点とする三角形を考える
直角三角形は全部で何個あるか また鈍角三角形は全部で何個あるか

上は二本ずつの縦と横の線を選んで四角形を作るやつだから線の選び方縦の9Ｃ2と横の9Ｃ2をかけて1296個というのまでしか分からず後者は直角三角形については円の中の直角三角形は円の直径が入るということしか分からず鈍角三角形は全く分かりません 説明してください お願いします

回答No.1

hrsmmhr · ベストアンサー

正方形は、一方の辺の取り方（縦or横）につき、
正方形になる他方の辺（横or縦）のとり方は一つに決まってしまいますので9C2でよいと思います

直角三角形は、直径を決めると、直径の端点以外の点を一つ選べば、どれでも直角三角形になります
だからそれぞれにつき８つです

鈍角三角形は、直径以外の2点を選んだときに2点間の弧のうち短い方の弧上の点は全て鈍角三角形です
長いほうの弧上の点を選んだときでも鈍角三角形になる可能性もありますが、
その場合のカウントは、
鈍角をなす選択した端点を、それ以外の2点から見て短い弧上の点を追加した場合に含まれますので、
選択した2点に付き短いほうの弧上の点の数を数え上げれば求まります。

お礼

回答ありがとうございます
＞直角三角形は、直径を決めると、直径の端点以外の点を一つ選べば、どれでも直角三角形になります
だからそれぞれにつき８つです

作れる直径は4つだから4×8＝32となりますが答えは40通りです なぜでしょうか？

回答No.5

nag0720

＞＞三角形だから3倍重複して数えているので
＞なんででしょうか？

三角形の頂点をA,B,Cとしたとき、最初に決めた点がAのとき、Bのとき、Cのとき、を別々に数えているから。

ちなみち、直角三角形は、36個中、最初に決めた点が直径の端点の場合が8個、端点でない場合が4個、計12個の直角三角形ができる。
12×10/3=40
で、合計40個となる。

お礼

なるほど 分かりました
回答ありがとうございました

回答No.4

hrsmmhr

ある点と、その点からｎ個先の点を選択したとき、
ｎは1,2,3,4について、短い弧上の点の数はｎ-1個です
ｎが5のときは直径なので関係なく
ｎが6,7,8,9については他方の点から見て4,3,2,1個先の点が元の点になる場合になりますので
10個の点それぞれについてn=1,2,3,4の場合を足し合わせます

お礼

n＝1のとき間の点なし
n＝2のとき間の点1個で鈍角三角形も1個
n＝3のとき間の点2個で鈍角三角形も2個
n＝4のとき間の点3個で鈍角三角形も3個
足して6 これが10個の点それぞれにあるから6×10＝60個と確かに答えに合いました
回答ありがとうございました

回答No.3

hrsmmhr

どうして作れる直径が4つですか？点は10点ですよね？

お礼

すみません一つ除いてました 5本×8で40通りです

＞選択した2点に付き短いほうの弧上の点の数を数え上げれば求まります。

どう数えるのですか？

回答No.2

nag0720

1296個まで分かっているのなら、そこから正方形の数を引けばいい。
正方形の数は、一番大きいのが1個、次に大きいのが4個、その次に大きいのが9個、・・・・、一番小さいのが64個
順に、1^2,2^2,3^2,・・・・,8^2になっている。

後者は、3点のうち、1点を決めれば残りの2点は9C2=36通り。
この36通りの中に、直角三角形、鈍角三角形がいくつあるか数えてみればいい。
36個しかないんだからそのくらい数えられるでしょう。
あとは、最初の1点の決め方が10通りあって、三角形だから3倍重複して数えているので、
10/3を掛けてやればいい。

お礼

回答ありがとうございます

＞三角形だから3倍重複して数えているので

なんででしょうか？