母分散と標本分散

質問

母分散と標本分散の違いで混乱しています。
『例題で学ぶ　初歩からの計量経済学』白砂堤津耶著のP26以降の記述が理解できません。何で標本分散だと（ｎ－１）で割るに母分散だと単純にｎで割るのですか？
さらにネットで調べてみると、上記の本と違う内容（たとえば、標本分散のほうをｎで割り、母分散を（ｎ－１）で割る）などがあり混乱しています。実際は何が正しのでしょうか？
もし宜しければご回答よろしくお願いします。

回答No.2

guowu-x

修正

＞このように、標本分散はまた確率変数になり、さっきの２回コインを投げて表が２回とか表と裏が１回ずつというのは、その（確率変数の標本分散という）確率変数になります。

このように、標本分散はまた確率変数になり、さっきの２回コインを投げて表が２回とか表と裏が１回ずつというのは、その（確率変数の標本分散という）確率変数【の実現値】になります。

回答No.1

guowu-x

ありがちな混乱かもしれません。

まず母分散というのは「真の分散」のことです。
たとえば、コインを２回投げるという試行を考えてみるとコインにゆがみがないとすれば、母分散は1/2と計算できます。（このような試行は２項分布に従うことを既に知っている）

一方、確率変数の標本分散というのは、やはり確率変数になります。
コインの例だと、コインを２回投げて２回とも表が出たとしましょう。すると標本分散は０で、このような結果が起こる確率は1/4です。
もう一回同じことをやってみると今度は表と裏とが１回ずつかもしれません。それをもとに分散を計算すると０とは別の値になります。
このように、標本分散はまた確率変数になり、さっきの２回コインを投げて表が２回とか表と裏が１回ずつというのは、その（確率変数の標本分散という）確率変数になります。

さて、標本分散をn-1で割る理由ですが、おそらく標本分散を不偏推定量になるようにしたい体と思います。不偏推定量とはこの場合だと標本分散（確率変数！）の期待値が母分散に等しくなるように調整してあることを意味します。不偏推定量についてはもう少し勉強すると必ず出てくると思いますので、それまでがんばって勉強してみてください。無理に標本分散を不偏推定量にしようと思わないときは普通にnで割っていることもあります。
またn-1で割るほうを不偏分散、nで割るほうを標本分散としている本もありこの辺りはテキストによってまちまちです。

お礼

ありがとうございました。
勉強不足もあって理解しにくいところもありますが、なんとなくわかりました。丁寧ね説明に感謝します。