母相関0のときの相関係数の標本分布

質問

母相関0の二次元正規分布に従う母集団からn個（n≧3）の標本をとって、その(標本)相関係数rを得たとき、r√(n-2)/√(1-r^2)は自由度n-2のt分布t(n-2)に従うというの多くの統計の教科書で見かけるのですが、その証明はどうやればよいのでしょうか。

rを標本変数の式で実際に書いてみて式変形をするだけだとは思うのですが、うまくできませんでした。よろしくお願いします。

回答No.1

selfer

こんにちは．心理学研究で統計解析法を使っている者です．数学は苦手ですが，統計学そのものには興味があります．

道具論的に統計学を使う場合，多くの統計解析法の使い手（私も含めて）は，どのような原理でその計算式が成立するかは考えていません．正直，統計解析法の教科書にその証明過程が書かれていないのです．
とりあえず，手持ちの資料『教育と心理のための推計学 新訂版』で参考になりそうなものを引用します．

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4821062046/qid=1104663915/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl/t/250-4552206-6425031

＜無相関検定＞
無相関検定(母相関0の検定)を行う場合には次のｔ検定を用いる．

　　　ｒ√(ｎ－2)
ｔ＝―――――――，　自由度＝ｎ－2
　　　√(1－r^2)

これは母相関＝0のときrの分散の不偏推定値(u^2r)が

　u^2r＝(1－r^2)／(ｎ－2)

であることを利用したものである．なお，ここでいう分散とは，X(またはY)にもとづくY(またはX)の推定の誤差分散のことである．

＜推定の誤差分散＞
XからYの推定についての誤差分散は

u^2y・x＝(Σd^2y・x)／(ｎ－2)
※dy・xとは(実測値のY　－　Xから推定される推定値Y)

YからXの推定についての誤差分散は

u^2x・y＝(Σd^2x・y)／(ｎ－2)
※dx・yとは(実測値のX　－　Yから推定される推定値X)

……

とりあえず関連がありそうかな？　と思われるところをよく分からずに引用しております．私自身はこれ以上はよく分かりませんが，参考になるようでしたら，ご利用下さい．

むしろ，その証明が分かりましたら，逆に教えていただければ幸いです．

お礼

ありがとうございます。もう少し考えてみたいと思います。うわさでは母相関ρが一般の場合でも標本分布を具体的に密度関数を用いて表すことが出来るそうなのですが、自力で導くのは無理そうなので、明日以降、図書館で調べてみようと思います。

補足

遅くなりました。普通の大型書店においてあるような本にはあまり書いてなく、仕方ないので大学の図書館で調べてみました。母集団分布ρが一般の場合についても二次元ウィシャート分布の密度関数の公式から標本相関係数rの密度を計算することができ、その公式でρ=0の場合は特別にt=r/√(1-r^2)とおくと√(n-2)tがt(n-2)に従うことが示せるようです。ただ一般にウィシャート分布（多次元のχ^2分布に相当するものです）の密度の導出は結構面倒な計算がいるようで、フォローするのも大変でした。無限級数表示されていますので、入門の統計学の本には書いてないのだと思います。ρ=0の場合だけを調べたいならもう少し楽に計算できるように思いましたが、一般の場合についてもフィッシャーのz変換の分布を調べたいという欲求もありますので、この形できちんと証明できた方がよいとも思いました。http://www5d.biglobe.ne.jp/~pomath/study/statistics.htmlこちらに要約ですがまとめておきました。いずれにせよ中級以上の本か、あるいは数理統計の専門書をみないとあまり載っていない気がします。詳しい計算は書かれていないのですが、竹村彰通著、多変量推測統計の基礎、共立出版で扱っていました。多くの書物で触れているのでとか書いてましたので、Kendall & StuartやらAndersonやらの大著を読めば詳しく書いてあるのかも知れません。