放物線を回転させるとどうなりますか？

質問

ふと思ったのですが、放物線を座標上で回転させると、どのような式で表せる図形になるのですか？たとえば、y＝x^2と合同な図形(放物線)を直線y＝xに原点で接するように(かつ第四象限に入らないように)移動させると(簡単に言えば、放物線を頂点を軸に回転移動させると)どうなりますか？
とりあえず、ひとつのxに対して複数の解(y)が出るので、関数でないことはわかるのですが、この放物線は一体どういった式で表せるのですか、教えてください。

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

＃１です。すみません間違えました。訂正します。

Ｘ＝ｘ＊ＣＯＳ４５度－ｙ＊　ＳＩＮ４５度
Ｙ＝ｘ＊　ＳＩＮ４５度＋ｙ＊ＣＯＳ４５度

ｘ＝Ｘ＊ＣＯＳ４５度　　＋Ｙ＊　ＳＩＮ４５度
ｙ＝Ｘ＊（－ＳＩＮ４５度）＋Ｙ＊ＣＯＳ４５度

お礼

なるほど、三角比を使うのですね。「０＝～」としたときに、右辺にxの累乗とyの累乗が共存しているので、式からも、この放物線が一価関数でないことは確認できました。微分積分を使ったりしなきゃならないと思っていたんですが、案外簡単でしたね。
訂正までしていただいて、丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.4

sanori

＃３の者です。

そういうことですか。
それでしたら、
各点（ｘ、ｙ）を縦にした行列

ｘ
ｙ

に回転行列

cosθ　-sinθ
sinθ　cosθ

を掛け算するだけですから、＃２さんのご回答と同様になります。
http://www.cvl.iis.u-tokyo.ac.jp/~miyazaki/tech/tech31.html
http://www.ceres.dti.ne.jp/~ykuroda/oyaj/bone/basic3d.html

お礼

一価関数でないので、問題を難しく考えすぎてました。
回答ありがとうございました。

回答No.3

sanori

パラボラアンテナの形そのものになりますね。

ｙ＝ｘ^2　ただしｘの範囲は　ｘ≧０
という、片側放物線を、Ｙ軸の周りに３６０度回転させればよいですね。

Ｙ軸、Ｘ軸の両方に垂直な軸をＺ軸と名づけます。
Ｙ軸に平行な平面で切りますと、その断面は円になります。
円の方程式は、ｘ^2 ＋ ｚ^2 ＝ 半径^2
ここで、
半径はｙの関数であり、それは、ｙ＝ｘ^2 の逆関数なので、
半径 ＝ √ｙ

よって、
ｘ^2 ＋ ｚ^2 ＝ ｙ
が求める方程式になります。

補足

回答ありがとうございます。でも、知りたいのは二次元平面上で回転させたものなのです。説明不足でした、すみません。

回答No.1

kkkk2222

＞関数でないことはわかるのですが

敢えていうなら多価函数です。
円も、楕円も多価函数です。
陰函数とも言います。

Ｘ＝ｘ＊ＣＯＳ１３５度－ｙ＊　ＳＩＮ１３５度
Ｙ＝ｘ＊　ＳＩＮ１３５度＋ｙ＊ＣＯＳ１３５度

このままでは代入出来ませんので、

ｘ＝Ｘ＊ＣＯＳ１３５度　　＋Ｙ＊　ＳＩＮ１３５度
ｙ＝Ｘ＊（－ＳＩＮ１３５度）＋Ｙ＊ＣＯＳ１３５度

を　ｙ＝ｘ＾２　に代入して見てください。