#1です。
極座標系で考えると求める曲線は以下のようになります。
(3)球座標による表現
(x,y,z)=(r sinθcosφ,r sinθsinφ,r cosθ) …(A)
φ=π/4,cosφ=sinφ=1/√2 …(B)
(A)に代入
(x,y,z)=(r sinθ/√2,r sinθ/√2,r cosθ) …(C)
z=x^2のxをr=√(x^2+y^2)に入替えて
z=x^2+y^2
これに(C)を代入して
r cosθ=(r sinθ)^2
r=cosθ/(sinθ)^2 …(D)
球座標での表現（r,θ,φ）=(f(θ,φ),θ,φ)
r=f(θ,φ)=cosθ/(sinθ)^2 (φ=π/4,0≦θ<2π)
媒介変数表示(θ=tとおいて)
（r,θ,φ）=(cos(t)/(sin(t))^2,t,π/4) (0≦t<2π)
(4)円柱座標（円筒座標）による表現
(r,θ,z)=(√(x^2+y^2),θ,z), x=r cosθ, y=r sinθ
z=x^2をθ=π/4回転すると x=r cos(π/4)=r/√2, y=r sin(π/4)=r/√2
z=r^2
円柱座標での表現 (r,θ,z)=(r,θ,f(r,θ))
z=f(r,θ)=r^2 (θ=π/4、5π/4,r≧0)
媒介変数表示 (r→tとおきtに±符号を導入しθ=5π/4の式を吸収させる）
(r,θ,z)=(t,π/4,t^2) (媒介変数tの範囲:全実数範囲)
お礼
丁寧な回答ありがとうございます。 (1)の２曲面の交線でy=x平面のイメージが上手く掴めないでつっかえてました。 (2)の媒介変数表示はすっきりとしてて良いですね。 (3)の極座標や(4)の円柱座標は慣れてないのでやや難しく感じます。