３次元で放物線を奥に45度回転

質問

３次元空間で放物線z=x^2をz軸を中心として、y軸方向に45度回転させたときの
放物線の式はどのようにして求まりますか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

曲線（直線を含む）の方程式は
(1)２つの曲面（平面を含む）の交線として定義できます。
あるいは
(2)媒介変数tを1つ用いる媒介変数表示で定義できます。

(1)だと
回転放物面z=x^2+y^2
と
平面y=x
の交線、つまり２つの方程式
z=x^2+y^2,y=x
で求める放物線の式を定義できます。

2番目の式を1番目に代入して
z=2x^2,y=x
の2つの方程式でも求める放物線の式を定義しても良いです。
（ただし、この表現は45°回転したというイメージは薄くなります。）

(2)
(x,y,z)=(s,s,2s^2)

なお、この他に球面座標表現、円筒（円柱）座標表現もあります。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
(1)の２曲面の交線でy=x平面のイメージが上手く掴めないでつっかえてました。
(2)の媒介変数表示はすっきりとしてて良いですね。
(3)の極座標や(4)の円柱座標は慣れてないのでやや難しく感じます。

回答No.2

info22_

#1です。

極座標系で考えると求める曲線は以下のようになります。

(3)球座標による表現
(x,y,z)=(r sinθcosφ,r sinθsinφ,r cosθ)　…(A)
φ=π/4,cosφ=sinφ=1/√2　…(B)
(A)に代入
(x,y,z)=(r sinθ/√2,r sinθ/√2,r cosθ)　…(C)
z=x^2のxをr=√(x^2+y^2)に入替えて
z=x^2+y^2
これに(C)を代入して
r cosθ=(r sinθ)^2
r=cosθ/(sinθ)^2 …(D)

球座標での表現（r,θ,φ）=(f(θ,φ),θ,φ)
r=f(θ,φ)=cosθ/(sinθ)^2 (φ=π/4,0≦θ<2π)

媒介変数表示(θ=tとおいて)
（r,θ,φ）=(cos(t)/(sin(t))^2,t,π/4) (0≦t<2π)

(4)円柱座標（円筒座標）による表現
　(r,θ,z)=(√(x^2+y^2),θ,z), x=r cosθ, y=r sinθ
　z=x^2をθ=π/4回転すると　x=r cos(π/4)=r/√2, y=r sin(π/4)=r/√2
z=r^2

円柱座標での表現 (r,θ,z)=(r,θ,f(r,θ))
z=f(r,θ)=r^2 (θ=π/4、5π/4,r≧0)
媒介変数表示 (r→tとおきtに±符号を導入しθ=5π/4の式を吸収させる）
　(r,θ,z)=(t,π/4,t^2) (媒介変数tの範囲:全実数範囲)

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB