放物線の平行移動

質問

放物線 y=2x**2+3x を平行移動した曲線で点(1,3)を通り、頂点が
直線 y=2x-3 上にある方程式を求めよ、という問題があります。
この問題の解答の導き方に、頂点の座標は (p, 2p-3) と表せる
ので、求める方程式は、
y=2(x-p)**2+2p-3
となるとあるのですが、なぜこうなるのかがわかりません。

座標を移動させると元の式は
y-(2p-3)=2(x-p)**2+3(x-p)
となると思うのですが、この式を展開すると
y=2(x-p)**2+2p-3+3(x-p)
となり、3(x-p) が余分についています。

どこで考え方を間違っているのでしょうか。
解答の導き方では y=2x**2+3x の 3x のところが、4x でも 5x でも
同じになってしまわないのでしょうか。

回答No.1

owata-www · ベストアンサー

＞座標を移動させると元の式は
y-(2p-3)=2(x-p)**2+3(x-p)
となると思うのですが

なぜこうなると思うのでしょうか？

＞解答の導き方では y=2x**2+3x の 3x のところが、4x でも 5x でも
同じになってしまわないのでしょうか。
同じになりますね

そもそも
y=2x^2+3x=2(x+3/4)^2-9/8
y=2x^2+4x=2(x+1)^2-2
y=2x^2+5x=2(x+5/4)^2-25/8
でどれもy=2x^2を平行移動したものですね

お礼

ようやっと理解できました。
y=2x^2+3x
というのは、
y=2(x+3/4)^2-9/8
なので、
y+9/8=2(x+3/4)^2
つまり、y=2x^2 の曲線の頂点(0,0)を(-3/4,-9/8)に移動したもの。
なので頂点(0,0)を (p, 2p-3)に移動させたときの曲線は
y-(2p-3)=2(x-p)^2
つまり、
y=2(x-p)^2+(2p-3)
となるのですね。
この曲線が(1,3)を通るので、
3=2(1-p)^2+(2p-3)
から、p を求めればよい。あとは単純計算ですね。

この問題は教科書の例題なのですが、解答手順の最初に
y=2(x-p)^2+2p-3
となるとあり、これがどうしても理解できませんでした。
この式を導き出すのがこの問題のポイントだと思うのですが、
これは自明なんでしょうか。不思議です。

また、
y=2x^2+3x も y=2x^2+4x も同じ y=2x^2 を平行移動したものと
いうのは意外でした。2次関数というのはすべて左右対称
なのですね。

ありがとうございました。

回答No.2

banakona

＞座標を移動させると元の式は
＞y-(2p-3)=2(x-p)**2+3(x-p)
＞となると思うのですが、この式を展開すると

これは元の式を「ｘ軸方向にｐ、ｙ軸方向に２ｐ－３移動させたもの」であって、「頂点が直線 y=2x-3 上にある」ではありません。

蛇足ですが、放物線 y=2x**2+3x の頂点を、直線 y=2x-3 上に持ってくる平行移動って無数にありますよね。

お礼

> これは元の式を「ｘ軸方向にｐ、ｙ軸方向に２ｐ－３移動させたも
> の」であって、「頂点が直線 y=2x-3 上にある」ではありません。

ご指摘のとおりです。
式を(x, 2x-3) 平行移動させると、頂点が直線 y=2x-3 上にくると勘違いしていました。