放物線の回転体の体積

質問

お世話になってます。
数学図形の問題ですが、
放物線ｙ＝ｘ2＋１（エックス２乗プラス１）とｘ軸に平行な直線
ｙ＝５との交点で囲まれた部分をｙ軸を中心に回転してできる
立体の体積を求めたいです。（図添付）
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自分の考え】
自分の考えは放物線の回転なので半球にはなりませんよね。
上面の円の半径は２しかし高さは４の球体？（このような形の立体を
何と呼ぶのか正確にわかりません）
半球なら中学レベルでしょうがこの場合の形は積分を使うのではないか？と思うのですが、積分は面積を求めるときには使うと思いますが、
このような立体ではどう考えてよいかわかりません。
自分の考え、予想はここまです。すみません。基本の積分の計算わできると思いますので考え方と使い方がわかるとありがたいです。
どうかよろしくお願いいたします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

回転放物面体ですね。
教科書に放物線などの曲線をY軸の周りに回転した時の回転体立体の体積公式として載っているかと思います。
V=∫[a→b] S(x)dx　…X軸の周りの回転立体の体積。
xの所の断面積S(x)=πy^2=π{f(x)}^2　（円板の面積）

これがY軸の周りの回転立体になると
V=∫[c→d] S(y)dy　…Y軸の周りの回転立体の体積。
yの所の断面積S(y)=πx^2=π{g(y)}^2　（円板の面積）
と変わります。
覚えておいてください。

質問の問題の解答は#2さんのが正解です。

お礼

御回答ありがとうございました。
ご回答いただきましたヒントを利用させて頂き流れを確認しながら
解答してみようと思います。
また何かありましたら宜しくお願いいたします。

回答No.3

w0col

やり方は前の人たちのやり方で合ってますよ。

ちなみに放物線の回転体は球にならないので気をつけてください！

お礼

御回答ありがとうございました。
球の一部にならないのがみそというか私もその形の体積を求める方法
がわからなかったです。
また何かありましたら宜しくお願いいたします。

回答No.2

noname#112109

y＝x^2＋1よりx^2＝y－1
求める立体の体積をVとすると
V＝∫[1→5](πx^2)dy＝π∫[1→5](y－1)dy
＝π[(y^2/2)－y][1→5]＝π{((25/2)－5)－((1/2)－1)}
＝π(12－4)＝8π……(答)
ちなみに，立体の体積（整式の範囲内）は昔，科目「基礎解析」にありました。

お礼

御回答ありがとうございました。
答えの体積までいただきありがとうございます。
自分で解きなおしたときの確認もできます。
また何かありましたら宜しくお願いいたします。

回答No.1

noname#104426

定積分の応用です
体積を求める方法の考え方は参考書などに載っている筈です。
ただしここではy軸を中心に回転させることに注意しないといけません。

解答としては、
y軸を中心に回転させるので、
x=√(y^2-1)と書き直します。
求める体積の区間はy=1からy=5の範囲なので
V = π∫[5,1]{√(y^2-1)}dy
これを計算すれば答えがでると思います。

お礼

御回答ありがとうございました。
ご回答いただきましたヒントを利用させて頂き流れを確認しながら
解答してみようと思います。
また何かありましたら宜しくお願いいたします。