二次関数グラフ（対称な放物線の式）

質問

y=x^2-2x-3の放物線について、ｘ軸に関して対称な放物線の式を答えよ。

まず頂点を出しました。
y=x^2-2x-3
=(x-1)^2-4
頂点（１、－４）

ｘ軸に関して対称な放物線なので、
頂点（１、４）
y=(x-1)^2+4
=x^2-2x+1-4
=x^2-2x-3　←　私の出した答え。
と、いうように解いたのですが、解説をみると
y=-(x-1)^2+4 ・・・
となっていました。
軸の対称移動で、頂点の符号が変わるのは解るのですが、解説の“(x-1)”の前に何故-（マイナス）がついてくるのかが、解りません。

解説の程、宜しくお願い致します。

回答No.6

chiropy · ベストアンサー

No.5です。
y軸対称のとき。グラフ上の任意の点は(x,y)→(-X,Y)となるのでこれを代入すると
Y=(-X)^2-2(-X)-3
Y=X^2+2X-3
Y=(X+1)^2-4
となります。質問者様の様に考えるのなら、求めるグラフは
y=x^2-2x-3
y=(x-1)^2-4
を動かしたものなので、ここに代入します。すると
Y=(-X-1)^2-4
Y={-1*(X+1)}^2-4
Y=(-1)^2*(X+1)^2-4
Y=(X+1)^2-4
となります。

分かりにくいところがありました言ってください。

お礼

まずは、chiropyさんの解説どおりに解いてみました。
要は、y=(x-1)^2-4に-y(x軸に関して対称の時）や、－x（y軸に関して対称の時）を代入していけばいいのですね。←私はそこを計算していなかったので正しい答えにたどり着けなかったようです。
細かく解説していただき、とてもよく解りました。
ありがとうございました。

回答No.7

sanori

＞＞＞＞＞回答ありがとうございます。
ｘ軸に関して対称なので、“ｙを－ｙにして計算する”と言われれば「そうかなぁ？」という感じなんですが、
では、何故ｙ軸に関して対称の時は、y=(x+1)^2-4でいいのですか？→今の解説の雰囲気ですとy=(-x+1)^2-4になりそうな感じですよね？
ｙ軸については、問題なく解けたので、ｘ軸についてが今ひとつよく解りません。

ん？
なんか質問内容が増殖してきましたね。（笑）

Ｘ軸対称は、Ｘ軸を鏡に見立てて、反射した図形を思い浮かべればよいですから、Ｙ軸を逆さ、つまりは、Ｙのプラスマイナスの目盛りをひっくり返せばよく、

同様に、
Ｙ軸対称は、Ｙ軸を鏡に見立てて、反射した図形を思い浮かべればよいですから、Ｘ軸を逆さ、つまりは、Ｘのプラスマイナスの目盛りをひっくり返せばよいです。

y=x^2-2x-3
→何故ｙ軸に関して対称の時は、y=(x+1)^2-4

これもやってみますか。
y=x^2-2x-3＝（ｘ－１）＾２－４
ここまでは、さっきとおんなじ。

ｚ＝－ｘ　と置きます。
ｙ＝（－ｚ－１）＾２－４
ここで、「－ｚ－１」は、－（ｚ＋１）ですね？
マイナスの２乗はプラスなので
ｙ＝（ｚ＋１）＾２－４
仕上げに、ｚをｘに書き換えて・・・
・・・ほ～らね！

お礼

確かに増殖してきましたね（笑）
私の計算方法では、回答と照らしてｘ軸の答えは合わず、ｙ軸の答えは合っていたので、疑問だったものですから。
皆様の回答と自分の回答を見比べてみると、代入をきちんとしていなかったから答えがだせなかったようです。（私の計算方法で出していたｙ軸は偶然合っていただけなのかも？）
勉強になりました！ありがとうございました。

回答No.5

chiropy

No.4です。No.3様とかぶった上に、ｘ軸対称を原点対称と勘違いしました。以下訂正です。
x軸対称なので（x,y）→（X,-Y）となるので、これを代入します。
-Y=X^2-2X-3
Y=-X^2+2X+3
Y=-(X-1)^2+4
となります。すいませんでした。

補足

回答ありがとうございます。
（ｘ、－ｙ）を代入するのですか？
なので-y=x^2-2x-3・・・
なのですね。
では、何故ｙ軸に関して対称の時は、y=(x+1)^2-4でいいのですか？→今の解説の雰囲気ですとy=(-x+1)^2-4になりそうな感じですよね？
ｙ軸については、問題なく解けたので、ｘ軸についてが今ひとつよく解りません。

回答No.4

chiropy

No.1です。
向きが変わるとはグラフの凹凸が変わるということです。
先の回答は実際にグラフを書いた上での感覚的なものだったので、今回は数学的に導きます。

グラフ移動前の任意の点を（x,y）移動後を(X,Y)とします。今回の場合原点対称なのでx,y座標共に符号が変わります。つまりx=-X,y=-Yになるということです。でこれを元の方程式に代入する(グラフの形は変わらず、各点がx=-X,y=-Yと移動するので)と
-Y=(-X)^2-2(-X)-3
-Y=X^2+2X-3
Y=-X^2-2X+3
となります。
x軸対称、y軸対称のときも同様にx,yがどういう風に移動するかを考えて代入すればＯＫです。

回答No.3

sanori

元の放物線が下に凸なんですから、ｘ軸に関して対称、すなわち、上下ひっくり返した放物線は、上に凸です。

ｘ軸に関して対称なんですから、ｙを－ｙに置き換えたものが、求める放物線です。
頂点もｘ切片も計算する必要はありません。

まず、右辺を整理しときましょうか。
y=x^2-2x-3
　＝（ｘ－１）＾２－１－３
　＝（ｘ－１）＾２－４

あとはｙを－ｙに置き換えるだけです。

ｙ＝－ｚと置きましょう。

－ｚ＝（ｘ－１）＾２－４

ほらね？
あとは、ｚをｙに書き換えるだけです。

補足

回答ありがとうございます。
ｘ軸に関して対称なので、“ｙを－ｙにして計算する”と言われれば「そうかなぁ？」という感じなんですが、
では、何故ｙ軸に関して対称の時は、y=(x+1)^2-4でいいのですか？→今の解説の雰囲気ですとy=(-x+1)^2-4になりそうな感じですよね？
ｙ軸については、問題なく解けたので、ｘ軸についてが今ひとつよく解りません。

回答No.2

ricanmuri

これは(ー１,０)と(３,０)を通る下向きに凸な放物線ですね。
ｘ軸に対して対象とゆうことであればマイナスをつけるだけですね。

補足

そのマイナスが何故つくのかが、よく解らないんですよね・・・。ｙ軸については、問題なく解けたのですが。

回答No.1

chiropy

グラフが対称なのでグラフの向きも変わります。
あなた様のではグラフを平行移動しただけで、対称移動になっていません。
実際にグラフをかくと分かりやすいと思います。