二次不等式

質問

aを実数とする。次の不等式について問いに答えよ。
x^2-(a-1)x-a≦0・・・（ⅰ）
x^2-(1-a)x-a≧0・・・（ⅱ）
１）（ⅰ）を満たすxの値を範囲を求めよ。
２）（ⅱ）を満たすxの値を範囲を求めよ。
３）（ⅰ）と（ⅱ）を同時に満たすxの値を範囲を求めよ。

上のような問題なのですが（１）からわかりません。
自分では(ⅰ)の式に判別式を用いて場合分けの境界（a=-1)は出したんですが、その先がわかりません。
また、（３）については（ⅰ）∩（ⅱ）だと思うのですが、（１）と（２）の答えが出ないことには解けません。

解答は持っていますので解法をご教授ください。よろしくお願いします。

回答No.4

Umada · ベストアンサー

既にUKYさん、ryu20さん、siegmundさんから解法の方針は示されていますが、実際に解くと以下のようになります。文字を含む不等式ですので場合分けに注意して解くことが必要です。

まず最初の式ですが幸運にも簡単に因数分解できる形ですので、判別式を持ち出すまでもなく
x^2-(a-1)x-a≦0　　　(1)
を
(x-a)(x+1)≦0　　　(2)
と書き直せます。境界はx=a, x=-1の2個所にあるな、と検討がつきますが、aと-1の大小によってちょっと状況が変わってきます。この場合に見通しを立て易くするには数直線上に図示するのが一番です。

(A)-1≦aの場合
数直線上に表すと(等幅フォントでご覧下さい)
　　　　　　　　　　　　a
(x-a)　────────●━━━━━→x
　　　　　　　　　 -1
(x+1)　──────●━━━━━━━→x

それぞれ太線の部分で正になります。●ではちょうど0です。(x-a)と(x+1)を掛けたものが負(0を含む)、という条件ですから、片方が正(0も含む)で片方が負(0も含む)という個所を探すと
-1≦x≦a　　　(3a)
が(1)を満たすことが分かります。なおa=-1の場合はただ一点、x=-1のみが解になります。

(B)a≦-1の場合
上のちょうど逆になります。
　　　　　　　　　　a
(x-a)　──────●━━━━━━━→x
　　　　　　　　　 　　-1
(x+1)　────────●━━━━━→x

上記と同様に議論し、答えは
a≦x≦-1　　　(3b)

であることが分かります。

2番目の不等式も同様に解けます。
(x-1)(x+a)≧0　　　(4)
と因数分解できますから、境界はx=1, x=-aにあることが分かります。答えだけ書くと、
(C)-a≦1(すなわち-1≦a)の場合　x≧-a　または　1≦x　　　(5a)
(D)1≦-a(すなわちa≦-1)の場合　x≧1　または　-a≦x　　　(5b)
となります。今度は(x-1)と(x+a)の積が正または0となるようにxの範囲を決める必要があることに注意。

最後の問題3)はおっしゃるように、両方の重なる部分を取ればよいことになります。ただし場合分けには注意。(境界はx=-1, -a, 1, aの4個所ありそれら相互の大小関係で分けることになります)

(E)-1≦aなら
上記の(A)(C)で重なるxの範囲が答え。今度はaと1の大小によって重なる範囲が変わってきますので、さらに場合分けが要ります。。
(E-1)さらにa≦1なら
　　　　　　　　　　　 -1　　a
不等式(1)の解─────●━━━●──→x
　　　　　　　　　 -a　　　1
不等式(4)の解━━━●───●━━━━→x

となります。(太線が不等式を満たす範囲。●は含む)
両方を満たすのは1≦x≦aです。

(E-2)a=1なら
　　　　　　　　　　 -1　　　1
不等式(1)の解────●━━━●──→x
　　　　　　　　　　 -1　　　1
不等式(4)の解━━━━●───●━━━━→x

となって、両方を満たすx=1と-1のみが解になります。ちょっと特殊です。

(E-3)さらに0≦a≦1なら
　　　　　　　　　 -1　　　a
不等式(1)の解───●━━━●──────→x
　　　　　　　　　　 　-a　　　1
不等式(4)の解━━━━━●───●━━━━→x

となります。(太線が不等式を満たす範囲。●は含む)
両方を満たすのは-1≦x≦-aです。

(E-4)さらに-1≦a≦0なら
　　　　　　　　　 -1　　a
不等式(1)の解───●━━●──────→x
　　　　　　　　　　　 　　-a　　　1
不等式(4)の解━━━━━━━●───●━→x

両方を満たすのは-1≦x≦aです。

(F)a≦-1なら
上記の(B)(D)で重なるxの範囲が答えです。こちらの場合分けは簡単で
　　　　　　 　 a　　-1
不等式(1)の解─●━━●────────→x
　　　　　　　 　　　　　　 1　　-a
不等式(4)の解━━━━━━━●──●━━→x

両方を満たすのはa≦x≦-1です。

計算ミスをしているかも知れませんので、念のためご自身で確認しながら読んでいただければ幸いです。

お礼

私の勘違いから始まったこの質問にお付き合いいただきありがとうございます。
数直線がとてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。

回答No.3

siegmund

UKY さん：
> 判別式がどうのこうのというより、ただ単に不等式の解を求めればいいのではないかと思います。

私もそう思います．
(i)は
x^2-(a-1)x-a = (x+1)(x-a)
と因数分解できますから，不等式の解は直ちにわかりますよね．
a と -1 の大小関係で分類が必要ですが．

(ii)も
x^2-(1-a)x-a = (x-1)(x+a)
ですから，(i)と同じような方針でできます．

(i)(ii)ができれば a の分類に注意して(iii)は簡単でしょう．

お礼

そうですね。無事解くことができました。
ありがとうございました。

回答No.2

ryu20

解の公式か、因数分解を利用します。
１）解の公式を利用
　　x^2-(a-1)x-a=0の解は
　　x=a,-1
ここでaの場合分けをし、
　　a≧-1 ; -1≦x≦a
a≦-1 ; a≦x≦-1
となります。

　　因数分解を利用
　　x^2-(a-1)x-a≦0
(x-a)(x＋1)≦0
よって(x-a)と(x＋1)がどちらかが正で、もう一方が負ならば成り立ちます。
　　つまり、(x-a)≧0∧(x＋1)≦0　or (x-a)≦0∧(x＋1)≧0
　　これをまとめると解の公式と同じになります。

２）は同様にやりましょう。
３）はおっしゃる通り（１）∧（２）です

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

UKY

判別式がどうのこうのというより、ただ単に不等式の解を求めればいいのではないかと思います。

2次方程式の解の公式を使って、不等式の解を求めればいいでしょう。
もちろん解はaを含んだ数になります。

2次不等式の問題で判別式は、主に
「不等式の解が存在するようなaの範囲を求めよ。」
というような問題でよく使います。

お礼

迅速なご回答ありがとうございました。