数学 一次不等式について

質問

|x-1|<4という問題では-4<x-1<4から-3<x<5と解くのに対して|x-2|<2x-1という問題ではx-2≧0のときとx-2<0のときとで場合分けするのはどうしてですか？
上の一次不等式が場合分けしなくていい理由と下の一次不等式が-2x+1<x-2<2x-1とできない理由を教えていただきたいです。
どういうときに場合分けが必要でどういうときに必要でないのでしょうか？

回答No.3

bran111 · ベストアンサー

1) |x-1|<4という問題では-4<x-1<4から-3<x<5と解くのに対して
2) |x-2|<2x-1という問題ではx-2≧0のときとx-2<0のときとで場合分けするのはどうして？

右辺にxが入っているかどうかで変わるわけです。

もっと直感的に理解できるのは右辺=f(x),左辺=g(x)と置いてy=f(x),y=g(x)のグラフを書いて
　　　　f(x)<g(x)
となる範囲を探せばよいということです。

高校1年で

絶対値⇒場合分けで絶対値を外す

というパターンを叩き込まれるようですが、これは実戦(入試)では敗因にこそなれ、有益なものではありません。具体感のないまま処理を行っているという悪いパターンになるからです。

絶対値⇒グラフを書いて実態を把握する

という習慣をつけてください。

絶対値は折れ曲がるということがグラフではすっきり出てくるのに場合分けではその意識がないことが敗因です。

補足

回答ありがとうございます。
簡単に言えば右辺にx（定数ではないもの）があるときは場合分けが必要ということでしょうか？

回答No.5

atkh404185

│a│>=0

だから

　　│x-2│<2x-1　

は

　　0<=│x-2│<2x-1

と考えることができ、これから

　　0<2x-1

となり（2x-1　は常に正の数になり）、場合分けしなくてもよいことになります。

x>1/2　などの条件は必要ありません。

回答がまちがってしまい、申し訳ありませんでした。

回答No.4

bamboo008

|x-2|<2x-1　…(1)
は
2x-1>0　…(2)　かつ　-2x+1<x-2<2x-1　…(3)
と同値ですが，
(2) は (3) に含まれているので，(3) だけと同値です。
場合分けする必要はありません。

|x-2|>2x-1　…(4)
は，場合分けしないといけません。

回答No.2

atkh404185

一言でいえば、

4は正の数であり、

2x-1は正の数とは限らないからです。（負の数になることもある。例x=0のときは-1）

絶対値を含む不等式について

│x│<cの解は-c<x<c・・・・・(1)

│x│>cの解はx<-c,c<x・・・・・(2)

とありますが、この前に必ず

c>0のとき

と書いてあるはずです。

だから、cが正の数のときに限って、(1)、(2)が使えるのです。

ちなみに、

│x-1│<4はx-1=Xとおくと

│X│<4となり(1)が使えて

-4<X<4

元に戻して

-4<x-1<4

-3<x<5

ですね。

それから、もし、x>1/2のような条件があれば2x-1は正の数となり(1)が使えます。

回答No.1

sanzero

>|x-1|<4という問題では-4<x-1<4から-3<x<5

こういうのは絶対値を定数で評価する時にだけ使えると思っといた方がいいですね。
私としてはy = 左辺とy = 右辺のグラフを描くのをお勧めします。