絶対値を含む１次不等式

質問

｜x+1｜> 2x　の不等式を解け

(i) x≧-1 のとき、解は x＜1
共通範囲は -1≦x≦1　…(1)
(ii) x＜-1のとき、解は x＜-1/3
共通範囲は x＜-1　…(2)

ここまではわかるのですが、

求める解は(1)と(2)を合わせた範囲で　x＜1

というところがわかりません。

(1)と(2)をどうやって合わせたらx＜1になるのでしょうか？
足し算でもして求めるのでしょうか？
他の問題を解いても、この合わせた範囲で～というところがどうしても求められません。

教えてください。お願いいたします。

回答No.6

KEIS050162 · ベストアンサー

少々問題が混乱しやすいので簡単な例題で復習してみるのが良いでしょうね。

例えば、

｜ｘ｜＞１

の場合。
ｉ）　０≦ｘ　の場合、　１＜ｘ　となります。　
これは、０≦ｘ　”かつ”　１＜ｘ　を満たすｘの領域なので、１＜ｘ　となります。

ｉｉ）　ｘ＜０　の場合　　ｘ＜－１　となります。
これは、ｘ＜０　”かつ”　ｘ＜－１　を満たすｘの領域なので、ｘ＜－１　となります。

それぞれ数直線を描いて確認してみてください。

この解は、ｉ）　”もしくは”　ｉｉ）　を満たすｘの領域となるので、
ｘ＜－１　、　１＜ｘ　が答えとなります。

ｉ）　”かつ”　ｉｉ）　ではなく、ｉ）　”もしくは”　ｉｉ）　です。

これと今回の問題をまったく同じ方法で解くと、
｜ｘ＋１｜＞２ｘ　は、ｘ＝－１が境界線となるので、

ｉ）　－１≦ｘ　の場合、　ｘ　＜　１　となります。　
これは、－１≦ｘ　”かつ”　１＜ｘ　を満たすｘの領域なので、－１≦ｘ＜１　となります。

ｉｉ）　ｘ＜－１　の場合　　ｘ＜－１／３　となりますが、ｘ＜－１　”かつ”　ｘ＜－１／３の領域は、ｘ＜－１　ですね。

これもそれぞれ数直線を描いて確認してみてください。

これの解は、ｉ）　”もしくは”　ｉｉ）を満たすｘの領域なので、
ｘ＜－１、－１≦ｘ＜１　が解となります。単純にｉ），ｉｉ）の条件を並べただけです。

ところが、これらの領域がｘ＝－１でつながっているので、結果、ｘ＜１だけでｉ），ｉｉ）両方の領域を表せてしまうので、まとめると　ｘ＜１　となる、
ということだけです。

うっかり、ｉ）とｉｉ）の共通領域（　すなわちｉ）”かつ”ｉｉ）　）を求めることと混乱しがちですが、先の簡単な例題などをもとに数直線を描きながら復習してみてください。

ご参考に。

お礼

とてもわかりやすい解説をありがとうございます！！
KEIS050162さんのご説明で、やっと理解することができました。

”かつ”と”もしくは” が自分の中で一緒になっていて、勝手に共通範囲を求めるものだと思っていました…。

簡単な例題で復習するとわかりやすいですね。
もう少しこのような問題で復習して慣れておこうと思います。

本当にありがとうございました。

回答No.7

yyssaa

ANo.3です。
-1≦x＜1　…(1)
x＜-1　…(2)
質問者さんは、ひょっとしたら(1)と(2)の
共通範囲が解だと思っていませんか？
(1)と(2)の共通範囲なら確かに x＜-1です。
しかし、この問題の解は(1)と(2)の両方
であり、共通範囲ではありません。
言葉で書けば
(1)はー1以上で1より小さい範囲
(2)はー1より小さい範囲
だから全体は1より小さい範囲になります。

お礼

yyssaaさんのおっしゃる通りでした。
勝手に共通範囲が解だと思っていました…。
教えて頂いて初めて気付きました…！
ご指摘・ご指導して頂いてありがとうございます。

言葉で書いて頂いて更に納得することが出来ました。
大変ご迷惑をおかけして申し訳ありませんでした。
わかりやすいご説明を本当にありがとうございました。

回答No.5

aries_1

#2です。

ここで、仮に-1≦x＜1を満たすxをx(1)、x＜-1を満たすxをx(2)とします。

x(2)の範囲にはx=-1は入っていませんよね?
しかし、x(1)の範囲にはx=-1が入っていますよね?
つまり、x(2)の範囲にx=-1も含まれていると考えて構わないということです。

これを踏まえてx(1)の範囲とx(2)の範囲を同じ数直線上に書くと、二つの範囲がx=-1で繋がっているような数直線になりませんか?
つまり、xは-1≦x＜1かつx≦-1なので、これを合わせるとx＜1となります。(-1のときx(1)とx(2)が繋がっているのがわかりますか)

お礼

わかりやすくご説明いただき、ありがとうございました。

数直線を書きながら復習してみます。

本当にありがとうございました。

回答No.4

Dr-Field

「｜x+1｜> 2x　の不等式を解け」という問題は、「｜x+1｜> 2x の式を成立させるｘの範囲を求めよ」という問題と同義です。
この式の場合、絶対値を外すためにｘの範囲を－１を境にｘの場合分けをしますが、実際にはｘは連続です。
ですから、(1)、(2)をあわせた範囲を考えます。

｜x+1｜≧０の場合は、不等式を解くとｘ＜1だが、最初の絶対値の式によりｘの範囲は-1≦ｘに限定されているから、-1≦ｘ＜１のｘは題意を満たすことになる。・・・(1)
｜x+1｜＜０の場合は、不等式を解くとｘ＜-1/3だが、最初の絶対値の式よりｘの範囲はｘ＜-1に限定されているから、ｘ＜-1では全てのｘも題意を満たす。・・・(2)

(1)と(2)より、題意を満たすｘの範囲は１未満、すなわちｘ＜１となる。

お礼

ありがとうございます。

すみません…相当頭が悪いのでこれでもわかりませんでした…。
私の答えはx＜-1だと思っていました。。

回答No.3

yyssaa

(i) x≧-1 のとき、解は x＜1
共通範囲は -1≦x≦1　…(1)
＞この（１）が間違いです。
共通範囲は-1≦x＜1です。
それならわかりますよね？

お礼

すみません…わかりません。。

回答No.2

aries_1

-1≦x＜1…(1)ということは、xは-1以上1未満(x≠1だが、x≒1)ということですよね?
またx＜-1…(2)ということは、xは-1未満(x≠-1であるが、x≒-1)ということですよね?

数直線上では≒は無視し、代わりに含まない部分のみ白丸を数直線上に書きます。
これを踏まえて数直線を書くと、(1)と(2)がx=-1の所で繋がっているのが分かりますか?
よって、求めた範囲がx=1から数直線の左側に延々と延びているので、答えはx＜1となります。

お礼

＞数直線を書くと、(1)と(2)がx=-1の所で繋がっているのが分かりますか?
わかります。

なので、x＜-1が求める解だと思っていました。
なぜ－1ではなく、x＜1が解なのかわかりません…。
すみません。。

回答No.1

asuncion

＞共通範囲は -1≦x≦1　…(1)

たぶん、-1≦x<1 ではないか、と思います。
で、
＞共通範囲は x＜-1　…(2)

(1)と(2)が表わしている範囲を、数直線で表現してみてください。

お礼

間違えました、すみません。

-1≦x<1

です。

数直線で書きましたが、『合わせた範囲』がわかりません。