失礼しました再度関数積分についてご質問

質問

∫１～０│ｘ－１２ｔ│ｄｔを最小にするにはｘの値は(Ａ)であり、ｆ(ｘ)の最小値は(Ｂ)である。
上記の問題が全くわかりません。

まず、解答に、ｔ=ｘ/１２がグラフの折れ目になると書いてあったのですがなぜ、ｔ=ｘ/１２になるんですか。
２つ目は、この問題は、３種類に分けれる(ｘ/１２≦０，０≦ｘ/１２≦１，ｘ/１２≧１)と書いてあったんですかなぜ3種類とわかるのですか。
※∫１～０の「１～０」とは、下端と上端の意味です。

回答No.5

kkkk2222 · ベストアンサー

＃４です

今、見直したら、とんでもない誤植がありましたので訂正します。

誤　　　ｙ＝－１２ｔ　と　ｙ＝－１２ｔ　
正　　　ｙ＝－１２ｔ　と　ｙ＝１２－１２ｔ

迷いましたが、ついでですので
ｆ（ｔ）＝ｘ－１２ｔ　　で
＜ｆ（ｔ）切片としてのｘに対応して、ｔ切片ｘ/12＞
と書きたかったんですが、あまりに判り難く過ぎるので避けました。
これは＜ｔ＝０のときｆ（ｔ）＝ｘ、ｆ（ｔ）＝０のときｔ＝ｘ/12＞
とも書けますが回避しました。
混乱を防ぐためです。理解した後なら、判るんですけど。

お礼

熱心に教えていただきありがとうございました。
この問題はわかりました。お忙しい中ご迷惑をおかけしました。

回答No.6

leap_day

こんにちは

絶対値のグラフは分かりますよね？
マイナスになったところは折り返してプラスにする(参考サイトの青線のような感じになる)
http://cosmath.cocolog-nifty.com/blog/2006/12/post_ed24.html

絶対値を含んだ積分の場合その範囲内でグラフが折り返されていたら場合分けをしてやらないといけません
例）∫(-1→1) |x| dx =∫(-1→0)(-x)dx + ∫(0→1)xdx のように

ですのでまず　y=|x-12t| のグラフを書いてみてください
dt　なので横軸はx軸ではなく t軸 となります
これは傾き１で切片 x のグラフになります
そしてt軸との交点(x/12,0)で折り返すグラフとなります

なのでxの値が変わるとこのt軸との交点も動いていきますよね？

よってこの折り返しがt<0にあったとき、0<t<1内にあったとき、1<tにあったとき・・と質問の式を場合分けしないといけないわけです

これが３種類に分けられる・・・というところです。x/12というのは交点(x/12,0)のx/12のことです

t軸との交点が0以下にあるとき　＝＞　ｘ/12≦０
t軸との交点が0から1にあるとき　＝＞　０≦ｘ//12≦１
t軸との交点が1以上にあるとき　＝＞　ｘ/12≧１

それからそれぞれの場合について式の値を求めてください
折り返した際のグラフの式は　-(x-12t)　となります

1)ｘ/12≦０ のとき(グラフは右上がりになっているので)
∫(0→1)(-x+12t)dt

2)０≦ｘ//12≦１ のとき(グラフは(x/12,0)で折り返しているので)
∫(0→x/12)(x-12t)dt + ∫(x/12→1)(-x+12t)dt

3)ｘ/12≧１のとき(グラフは右下がりになっているので）
∫(0→1)(x-12t)dt

お礼

ご丁寧に解説をしていただきありがとうございました。

回答No.4

kkkk2222

第二原稿　　＃２＃３です

＜下端が１、上端が０＞では最大値しかないので、
もっとも、＜下端が１、上端が０＞であり、＜最小値＞ではなく　＜最大値を求めよ＞かもしれません。両方は書けませんので、グラフをｘ軸対称で変換するだけですので。貴殿の主旨に合うように解釈して下い。
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＜下端が０、上端が１＞でやります。当方の結果を変換しながら、書きますので、変換途中に誤植がでましたら、ご容赦ください。
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まず結果
ｘ≦０のとき　　　　ｆ(ｘ)＝－ｘ＋６
０≦ｘ≦１２のとき　ｆ(ｘ)＝（１/１２）【（ｘ－６）＾２】＋３
１２≦ｘのとき　　　ｆ(ｘ)＝ｘ－６
ゆえにグラフより、ｘ＝６　のとき　最小値　３
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本論　場合わけの仕方、＃２＃３と重複しますが、

ｔ軸上に（０、０）と（１、０）をとる。【ｔ－ｙ】座標
ｙ＝ｘ－１２ｔ　を考える。
ｘに幾つか数値を入れて、数本直線を書く。
ｙ＝－１２ｔ　と　ｙ＝－１２ｔ　が境界の直線と判明。
対応点は　ｘ＝Ｏ、１２
ｘ≦０、０≦ｘ≦１２、１２≦ｘ　で場合わけ
０≦ｘ≦１２のとき　　ｔ軸上にｘ/12が出現
計算が終わったら【ｘ－ｆ(ｘ)】座標に描く。

以上が、模範解答の
＞＞ｔ=ｘ/１２がグラフの折れ目
＞＞ｘ/１２≦０，０≦ｘ/１２≦１，ｘ/１２≧１
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計算は全て省略してあります。

ご連絡下されば詳説します。
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回答No.3

kkkk2222

＃２です　訂正と加筆

誤　　ｘ軸上に（０、０）と（０、１）
正　　ｔ軸上に（０、０）と（１、０）

加筆　（６）で　ｔ軸上に　ｘ/12 が現れるはずです。

回答No.2

kkkk2222

第一原稿
まだ、解けていません。解けたら第二原稿を出します。

途中報告

（６）場合わけをするとき、幾つかの方法があるとおもうが、
ｘ軸上に（０、０）と（０、１）をとり、ｙ＝ｘ－１２ｔ　で　実際に,　ｘ　にいくつかの数（たとえば　－１　、６　、２４）　数本書いてみると、ｘ＝Ｏ、ｘ＝１２　が境界となり、範囲が３通りと判明する。

（１）この問題は、見た目より簡単ではない。

理由

（２）絶対値は、簡単そうに見えて、実はかなり難解な要素を内包している。単に正負に関する記号と見ただけでも、また関数記号と見た時も。当方受験時代に絶対値記号でかなり混乱したのち、高等学校の範囲での絶対値の扱いはＭＡＳＴＥＲした心算でしたが、今回の問題で難解さを再認識しました。

（３）積分範囲＜下端が１、上端が０＞思考を妨害している。もし、最初から解き直すならば＜下端が０、上端が１＞として、解いたのち再変換した方が精神衛生上よい。
ただ、計算途中で＜下端が１、上端が０＞では、最小値は存在しない気がする。
＞＞※∫１～０の「１～０」とは、下端と上端の意味です。
は厳密には誤植ではないか。

（４）ｘの＜定数＞＜変数＞の見方。
積分内では＜定数＞だが、場合わけの段階で＜定数＞＜変数＞と見做し、最後は当然ながら＜変数＞となる。

数学の問題の解き方

（５）問題全体のＩＭＡＧＥを掴む。極論すればこれで終了。実際には、計算・結果をださねばならぬのは書くまでもない。

ＰＳ　貴殿が早々に前スレッドを締められた潔さを賞嘆します。

回答No.1

kabaokaba

＃そもそも問題文の f(x) って何だ？というのはさておき

まずは「絶対値のついた関数」を理解しましょう．
絶対値の定義は理解してますか？
絶対値のついた関数のグラフをかけますか？
＃y=|x-1}とかy=|x-1|(x-2)とかのグラフ

上に述べたようなことが分からないならば
きわめて基本的なところが理解できていないので
積分までは無理ですよ．
数IAあたりに絶対値のついた関数の問題がありませんか？
逆に言えば，絶対値の基本的なところがわかっていて
積分が理解できていれば
その解説で十分なのです。。。

お礼

ご解答ありがとうございました。
基礎・基本を固めてやりたいと思います。