平均とmedian

質問

m_Xを確率変数Xのメジアンとする。cを実数とするとき

E(|X-m_X|)≦E(|X-c|)

の証明が導けません。お時間のあるかた助けてください。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

Xの確率密度関数がf(X)で与えられているとき、
E(|X-c|)=∫{-∞～∞}|x-c| f(x) dx
です。（ここで、∫{-∞～∞}ってのは、積分範囲が-∞から∞まで、という意味です。）
だから、
「S(c)=∫{-∞～∞}|x-c| f(x) dx
が任意の実数について定義されるとき、S(c)が最小になるcを求めよ」
という問題、と考えることができる。

S(c)=∫{c～∞} (x-c)f(x) dx-∫{-∞～c} (x-c)f(x) dx
=∫{c～∞} xf(x) dx-∫{-∞～c} xf(x) dx+c(∫{-∞～c} f(x) dx-∫{c～∞}f(x) dx)
です。
S'(c)=∂S(c)/∂c
とおくと、S(c)の右辺をcで微分して
S'(c)=-2cf(c)+(∫{-∞～c} f(x) dx-∫{c～∞}f(x) dx)+2cf(c)
=∫{-∞～c} f(x) dx-∫{c～∞}f(x) dx
ゆえに
S'(c)=0
となるcは
∫{-∞～c} f(x) dx=∫{c～∞}f(x) dx
となるcに他なりません。つまりS(c)が最小になるcはmedianである。