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確率密度関数の問題
以下の、確率密度関数を求める問題がよくわかりません。 詳しい解説をお願いします。 Xはパラメータλの指数分布に従う確率変数とする。以下の確率変数について、その確率密度関数を求めよ。 (1) B = e^X (2) C = (1+ X)^-1 (3) D = (1+ X)^-2 よろしくお願いします。
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- alice_44
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分布関数どうしの対応を考えればよいです。 例えば、(1) [B≦b]となる確率 = [e^X≦b]となる確率 = [X≦log b]となる確率 ですから、 これを b で微分すれば、 Bの確率密度関数 = (Xの確率密度関数にx=log bを代入したもの)((d/db) log b) = λe^(-λ log b)(1/b) となります。 指数分布の密度関数は、知っていますね? (2)(3)も、同様です。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
(1) X=ln(B) x=ln(b) f(x)dx =λe^(-λx)dx (x>=0) =λe^(-λln(b))(1/b)db(b>=1) =λb^(-λ-1)db =λ/b^(λ+1)db(b>=1) =p(b)db(b>=1) f(x)dx =0dx (x<0) =0(1/b)db=0db=p(b)db (0<b<1) 確率密度関数:p(b) p(b)=λ/b^(λ+1) (b>=1) p(b)=0 (0<b<1) (2) C=1/(1+X) x+1=1/c f(x)dx =λe^(-λx)dx (x>=0) =λe^(-λ((1/c)-1))(-1/c^2)dc (0<c<=1) =-(λ/c^2)e^(λ(1-(1/c))) dc =p(c)dc 確率密度関数:p(c) p(c)=-(λ/c^2)e^(λ(1-(1/c))) (0<c<=1) p(c)=0 (c>1) (3) D=1/(1+X)^2 x+1=1/√d f(x)dx =λe^(-λx)dx (x>=0) =λ{e^(-λ((1/√d)-1))}(-1/(2d^(3/2)))dd (0<d<=1) =-(λ/(2d^(3/2)))e^(λ(1-(1/√d))) dd =p(d)dd 確率密度関数:p(d) p(d)=-(λ/(2d√d))e^(λ(1-(1/√d))) (0<d<=1) p(d)=0 (d>1)