確率変数の平均と分散

質問

平均μ、分散σ^2の確率変数Xについて、その平方根SQRT(X)の平均と分散を求めるにはどうすればよいでしょうか。求め方も含めて教えてください。（確率変数の和，差，積，商の平均，分散についてはWEB上に多くの資料があるのですが、平方根については見つけることができませんでした）よろしくお願いします。

ohkawaさん、ozuさん、コメントを有難うございました。
E[x^0.5]＝E[((x－μ)＋μ)^0.5]＝E[μ^0.5（1＋(x－μ)／μ）^0.5]とおき、(1＋(x－μ)／μ）^0.5を二項展開し、(x－μ)^3／μ^3以上の高次の項を微小量として無視して展開すると次のようになりました。
E[x^0.5]＝μ^0.5－σ^2／8／μ^1.5
これを使って分散は次のようになりました。
V[x^0.5]＝σ^2／4／μ＋3σ^4／64／μ^3
エクセルの乱数で確認すると近似値としてはいい線いっているようです。
平均，分散の右辺第二項を無視するとohkawaさんの答えに一致します。

分散の結果が間違っていました。
V[x^0.5]＝σ^2／4／μ-σ^4／64／μ^3
です。

回答No.2

noname#230359

よくわからないが、

確率変数：X　確率密度関数：f(X)　平均：μ　分散：σ^2

で

確率変数：Z=X^(1/2)　確率密度関数：f(Z)=f(X^(1/2))　なら
（X>0,Z>0）

平均：μ^(1/2)
分散は、公式どおりの、
integral(((Z-μ^(1/2))^2)*f(Z))dZ

では、だめなのかなぁ　夏バテ頭で展開する気力がない。

回答No.1

noname#230359

確率変数の和，差，積，商の平均，分散を求める場合は、少なくとも2つの
確率変数について演算操作が行われます。普通の教科書には、確率変数に
相関が無い場合の求め方が載っていると思います。

今回のお問い合わせは、平方根ですから、確率変数それ自体に対する演算操
作であって、無相関の場合の考え方とは全く異なるものと思います。

少なくとも、確率変数の分布範囲が、正の数に限定しないと答えが出せない
のことは確かと思います。このあたりが、一般論として平方根SQRT(X)の平
均と分散の求め方が示されていないのでありませんか？

数学的に説明はできませんが、次のように計算すれば近似値は求められ
そうです。

確率変数Xの平方根SQRT(X)の平均と分散は次の通り。
　　　平均：　sqrt（μ）
　　　分散：（σ^2／μ）／４

ただし、Xの分布範囲は正に限定する。

私の回答は、エクセルの乱数機能を使って推測したものです。
ご質問者さん自身で、数学的にご確認頂けたことを有難く存じます。