幾何ブラウン運動

質問

幾何ブラウン運動に従う,（パラメータμ、σ）S(t)の期待値がS0＊e^[ｔ（μ＋σ^2/2]になることをどのように証明したらよいでしょうか？？
対数正規分布パラメータm,vに従う確率変数Xの期待値がe^(m+v＾2/2)
になることをつかうそうなのですがわかりません。教えてください。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

S(t)=S(0)exp(μt+σB(t))と書ける。ここにB(t)は正規分布N(0,t)に従
う。
σB(t)は正規分布N(0,tσ^2)に従う（σ倍すると分散がσ^2倍になる、
あるいは標準偏差がσ倍になる）ので、μt+σB(t)は正規分布
N(μt,tσ^2)に従う。（平均がμtだけずれる）
よって、exp(μt+σB(t))はパラメータμt,tσ^2の対数正規分布に従う。
よって、E(S(t))=S(0)exp(μt+tσ^2/2)

お礼

いつもすいません！！わかりました！！ありがとうございます。