数研出版 メジアン 50番

質問

数研出版のメジアンのp17の50番の(2)の解き方（解答）がわかりません。
(1)はすぐに解けたのですが、(2)は見当がつきません。数時間考え込んでもよくわからなかったので解答をおしえてほしいです。よろしくお願いします。

問題を下に書いておきます。（Ｘの２乗の表記の仕方がわからなかったので下では（Ｘの２乗）と表記しました。）

2次方程式Ａ: (Xの２乗)－X－a＝0　Ｂ: (Xの２乗)－aX－1＝0について
(1)Ａが異なる２つの実数解を持つようなaの値の範囲を求めよ。
(2)(1)のとき、Ａの２つの解の間にＢの解がただ１つあるようなaの値の範囲を求めよ。

回答No.1

mister_moonlight

f（x）＝x＾2-x-a＝0、g（x）＝x＾2-ax-1＝0とする。
f（x）＝0の2つの実数解をα、β、g（x）＝0の2つの実数解をm、nとすると、グラフを書くと分ると思うが、f（m）*f（n）＜0であると良い。

m＋n＝a、mn＝-1　‥‥(1)　である事から、f（m）*f（n）＝（mn）＾2-mn*（m＋n）-a*（m＾2＋n＾2）＋mn＋a*（m＋n）＋a＾2＜0　‥‥(2)
(2)に(1)を代入して整理すると、a*（a-1）＾2＞0　であるから、a＞0、a≠1.

同じことだが、g（α）*g（β）＜0でも良い。こっちで計算してみて。

他には、x≠0より、y＝a＝x＾2-x＝x-（1/x）の交点を考える方法もあるが、おそらく、y＝x-（1/x）のグラフを書けないだろうから、止めとく。