確率分布 平均

質問

確率変数の和と積の公式を使い間違えたのか、問題が解けません。
問題は、
1個のさいころと2枚の硬貨を投げる時、さいころの出た目の数をX,表の出た硬貨の枚数をYとし,(X+Y)^2を得点とする。(X+Y)^2の平均を求めよ。　というものです。

自分は、E(X+Y)^2=E(X+Y)*E(X+Y)={E(X)+E(Y)}*{E(X)+E(Y)} として、
E(X)=7/2,E(Y)=1を代入しました。81/4が計算結果でしたが、この問題の答えは、71/3ではずれでした。
確率分布X+Yを、１つずつ計算すると表のようになり、答えが合いました。どこで差がでたのでしょうか？
どなたか　自分の間違った箇所を正してください。お願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

E(X+Y)^2=E(X+Y)*E(X+Y) が間違い
(X+Y)と(X+Y)は独立ではないから
2乗の平均が平均の2乗にはなりません

Var(X+Y)=E(X+Y)^2-{E(X+Y)}^2
をX+Yの分散といいます

XとYは独立なので
E(XY)=E(X)E(Y)
となります

E(X+Y)^2
=E(X^2+2XY+Y^2)
=EX^2+2E(XY)+EY^2
=(1/6)Σ_{k=1～6}k^2+2(7/2)+(1/2)+(4/4)
=(1/6){6(6+1)(2*6+1)/6}+7+3/2
=71/3

お礼

確率変数が、独立であるか、ないかなど、公式の条件を気をつけるようにします。訂正ありがとうございます。